Se A é uma matriz cujo det(A) é não nulo e B é uma matriz tal que AxB = I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A, então é correto afirmar que: B é a transposta de A

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um exercício sobre matrizes. A situação é a seguinte: temos uma matriz $ A $ que tem determinante diferente de zero e uma outra matriz $ B $ que, quando multiplicada por $ A $, dá a matriz identidade $ I $. A pergunta quer saber se isso significa que $ B $ é a transposta de $ A $. Para resolver, vamos precisar conhecer conceitos de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ A \times B = I $. Quando multiplicamos duas matrizes e o resultado é a matriz identidade, isso quer dizer que $ B $ é a inversa de $ A $. A matriz inversa de $ A $ é aquela que, quando multiplicada por $ A $, resulta na identidade.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matriz transposta. A transposta de uma matriz $ A $, denotada por $ A^T $, é obtida trocando-se as linhas pelas colunas de $ A $. Ou seja, o elemento que estava na posição (1,2) passa para a posição (2,1), e assim por diante.

Passo 4

A questão pergunta se $ B $ sendo a inversa de $ A $ implica que $ B $ é a transposta de $ A $. No entanto, isso só é verdade se $ A $ for uma matriz ortogonal. Uma matriz ortogonal é aquela cuja transposta é igual à sua inversa, ou seja, $ A^T = A^{-1} $. Mas a questão não diz que $ A $ é ortogonal.

Passo 5

Então, em geral, a inversa de $ A $ e a transposta de $ A $ são coisas diferentes. A inversa depende dos valores específicos de $ A $, enquanto a transposta é uma operação somente de rearranjo dos elementos. Portanto, a afirmação de que $ B $ é a transposta de $ A $ não é correta a menos que $ A $ seja ortogonal, o que não foi especificado.

Resposta

Não, $ B $ não é necessariamente a transposta de $ A $; em geral, $ B $ é a inversa de $ A $, que só coincide com a transposta se $ A $ for uma matriz ortogonal.

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