Com o objetivo de verificar se uma moeda está viciada, decide-se lançá-la várias vezes de forma imparcial e sempre sob as mesmas condições.
Se em 8 lançamentos obtiverem-se 2 caras (e 6 coroas), qual é a conclusão ao nível de significância de 5%?

Passo 1

Então, temos um exercício de Estatística onde queremos descobrir se uma moeda está viciada. Para isso, lançamos a moeda 8 vezes e obtemos 2 caras e 6 coroas. Vamos usar o teste de hipótese para verificar isso, especificamente o teste binomial, já que estamos lidando com um número pequeno de lançamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): A moeda não está viciada, ou seja, a probabilidade de dar cara é 0,5.
  • Hipótese alternativa (H₁): A moeda está viciada, ou seja, a probabilidade de dar cara é diferente de 0,5.

Passo 3

Como temos um número pequeno de lançamentos, vamos usar a distribuição binomial para calcular a probabilidade de obter exatamente 2 caras em 8 lançamentos, assumindo que a moeda não está viciada.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • $ n = 8 $ (número de tentativas),
  • $ k = 2 $ (número de sucessos, ou caras),
  • $ p = 0,5 $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa).

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade:
P(X = 2) = binom82 (0,5)^2 (1-0,5)^8-2
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
binom82 = 8!2!(8-2)! = 8 times 72 times 1 = 28
Agora, substituímos na fórmula:
P(X = 2) = 28 times (0,5)^2 times (0,5)^6 = 28 times 0,25 times 0,015625 = 28 times 0,00390625 = 0,109375
Então, a probabilidade de obter exatamente 2 caras em 8 lançamentos é aproximadamente 10,94%.

Passo 5

Agora, vamos comparar essa probabilidade com o nível de significância de 5% (0,05). O nível de significância é o limiar que usamos para decidir se rejeitamos a hipótese nula.
Como estamos fazendo um teste bilateral (a moeda pode estar viciada para mais ou para menos), precisamos considerar as duas extremidades da distribuição.
A probabilidade calculada (10,94%) é maior que 5%, o que significa que não é tão rara sob a hipótese nula.

Passo 6

Como a probabilidade de obtermos 2 caras em 8 lançamentos é maior que o nível de significância, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências para concluir que a moeda está viciada ao nível de significância de 5%.

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