Seja p a probabilidade de coroa de uma moeda. Com o objetivo de testar H0: p=0,5 contra H1: p>0,5, fizeram-se 50 lançamentos dessa moeda, obtendo-se 31 coroas.
E se estivéssemos trabalhando com o nível de significância de 1%?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente testar uma hipótese sobre a probabilidade de sair coroa em uma moeda. A gente tem que verificar se a probabilidade real de coroa ( p) é igual a 50% ( H0: p=0,5) ou se é maior que 50% ( H1: p>0,5). Para isso, lançamos a moeda 50 vezes e obtivemos 31 coroas. Queremos saber se, com um nível de significância de 1%, a gente rejeita a hipótese nula ( H0) a favor da alternativa ( H1).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é nível de significância. Ele representa a probabilidade máxima que estamos dispostos a aceitar de cometer um erro tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No nosso caso, esse nível é de 1%, o que significa que queremos ter 99% de confiança nos nossos resultados.

Passo 3

Vamos usar o teste binomial para verificar se o número de coroas obtidas (31 em 50 lançamentos) é significativamente maior do que o esperado sob a hipótese nula ( p=0,5). A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de obtermos exatamente k coroas em n lançamentos, dada a probabilidade p de sucesso em cada lançamento.

Passo 4

No entanto, como o número de lançamentos é relativamente grande (n=50), podemos usar a aproximação normal para facilitar os cálculos. Primeiro, calculamos a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma) da distribuição binomial:
mu = n times p = 50 times 0,5 = 25
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz50 times 0,5 times 0,5 = raiz12,5 approx 3,54

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor z correspondente ao nosso resultado observando quantos desvios padrão 31 está acima da média:
z = X - musigma = 31 - 253,54 approx 63,54 approx 1,69
Onde X é o número de coroas observadas.

Passo 6

Com o valor z calculado, vamos comparar com o valor crítico da distribuição normal para um teste unilateral com nível de significância de 1%. Olhando uma tabela de valores z, vemos que o valor crítico para 1% é aproximadamente 2,33.

Passo 7

Como nosso z calculado (1,69) é menor que o valor crítico (2,33), isso significa que a probabilidade de obtermos 31 ou mais coroas sendo p=0,5 é maior que 1%. Portanto, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese de que a probabilidade de coroa é 50%. Ou seja, não há evidências suficientes para afirmar que p > 0,5.

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