Seja
a probabilidade de coroa de uma moeda. Com o objetivo de testar
contra
, fizeram-se 50 lançamentos dessa moeda, obtendo-se 31 coroas.
E se estivéssemos trabalhando com o nível de significância de 1%?
E se estivéssemos trabalhando com o nível de significância de 1%?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente testar uma hipótese sobre a probabilidade de sair coroa em uma moeda. A gente tem que verificar se a probabilidade real de coroa (
) é igual a 50% (
) ou se é maior que 50% (
). Para isso, lançamos a moeda 50 vezes e obtivemos 31 coroas. Queremos saber se, com um nível de significância de 1%, a gente rejeita a hipótese nula (
) a favor da alternativa (
).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é nível de significância. Ele representa a probabilidade máxima que estamos dispostos a aceitar de cometer um erro tipo I, ou seja, rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. No nosso caso, esse nível é de 1%, o que significa que queremos ter 99% de confiança nos nossos resultados.
Passo 3
Vamos usar o teste binomial para verificar se o número de coroas obtidas (31 em 50 lançamentos) é significativamente maior do que o esperado sob a hipótese nula (
). A distribuição binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de obtermos exatamente k coroas em n lançamentos, dada a probabilidade
de sucesso em cada lançamento.
Passo 4
No entanto, como o número de lançamentos é relativamente grande (n=50), podemos usar a aproximação normal para facilitar os cálculos. Primeiro, calculamos a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor z correspondente ao nosso resultado observando quantos desvios padrão 31 está acima da média:
Onde
é o número de coroas observadas.
Passo 6
Com o valor z calculado, vamos comparar com o valor crítico da distribuição normal para um teste unilateral com nível de significância de 1%. Olhando uma tabela de valores z, vemos que o valor crítico para 1% é aproximadamente 2,33.
Passo 7
Como nosso z calculado (1,69) é menor que o valor crítico (2,33), isso significa que a probabilidade de obtermos 31 ou mais coroas sendo
é maior que 1%. Portanto, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Com um nível de significância de 1%, não rejeitamos a hipótese de que a probabilidade de coroa é 50%. Ou seja, não há evidências suficientes para afirmar que
.