Um objeto B, inicialmente no ponto P (8,0 ; 6,0) (em metros), parte do repouso e se desloca paralelamente ao eixo y, no sentido negativo. No mesmo instante, um objeto A parte da origem com uma velocidade v0 na direção do ponto P. Os dois objetos são acelerados na direção negativa de y a 2,0 m / s^2. (a) Calcule a velocidade inicial mínima do objeto A para que ele encontre B antes que este cruze o eixo y=0. (b) O que acontece para velocidades maiores que esse valor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois objetos, A e B, que estão se movendo em direções específicas com certas acelerações. A gente vai usar conceitos de movimento uniformemente acelerado para resolver isso. Precisamos entender as trajetórias de A e B e descobrir qual a velocidade inicial mínima de A para que eles se encontrem antes do B cruzar o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição inicial de cada objeto:
  • Objeto B começa no ponto metros, ou seja, na posição .
  • Objeto A parte da origem e vai em direção ao ponto .
Ambos têm uma aceleração de na direção negativa de .

Passo 3

Vamos analisar o movimento do Objeto B:
Ele se move paralelamente ao eixo yB(t) = yB0 + vB0 t + 12 a t^2 na direção negativa, então sua posição em qualquer tempo yB(t) = 6,0 , m + 0 + 12 (-2,0) t^2 = 6,0 - t^2 pode ser descrita por:
Como ele parte do repouso ( ):

Passo 4

Agora, vamos olhar para o Objeto A:
Ele parte da origem em direção a tan(theta) = 68 Rightarrow theta = arctan(68) com uma velocidade inicial yA(t) = v0y t + 12 a t^2 . A direção desse movimento forma um ângulo que podemos encontrar usando:
A componente do movimento em para A é:
Onde .

Passo 5

Queremos que A encontre B antes que B chegue a yA(t) = yB(t) . Então, temos que:
v0 sin(theta) t + 12 (-2,0) t^2 = 6,0 - t^2
Substituindo as expressões:
v0 sin(theta) t - t^2 = 6,0 - t^2
Simplificando:
v0 sin(theta) t = 6,0

Passo 6

A partir disso, isolamos v0 = 6,0sin(theta) t :
6,0 - t^2 = 0 Rightarrow t = raiz6,0 approx 2,45 , s
Mas precisamos encontrar o tempo em que B chega a :

Passo 7

Voltando à equação de v0 = 6,0sin(theta) times 2,45 :
sin(theta) = 6raiz8^2 + 6^2 = 610 = 0,6
Calculamos v0 = 6,00,6 times 2,45 approx 6,01,47 approx 4,08 , m/s :
Então:

Resposta

A velocidade inicial mínima do objeto A para que ele encontre o objeto B antes que este cruze o eixo é aproximadamente 4,08 metros por segundo. Se a velocidade de A for maior que esse valor, eles se encontrarão ainda mais rapidamente antes do B chegar ao eixo.

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