Um avião, fazendo um mergulho de 37,0^circ sob a horizontal, larga um projétil de uma altitude de 730 m . O projétil atinge o solo depois de 5,00 s. (a) Qual era a velocidade do avião? (b) Qual é a distância horizontal percorrida pelo projétil? © Qual é o vetor velocidade do projétil imediatamente antes dele atingir o solo?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Um avião está fazendo um mergulho de 37 graus abaixo da horizontal e solta um projétil de uma altura de 730 metros. Esse projétil leva 5 segundos para atingir o chão. Precisamos descobrir três coisas:
(a) A velocidade do avião.
(b) A distância horizontal que o projétil percorreu.
© O vetor velocidade do projétil imediatamente antes de ele bater no solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos sem considerar as causas desse movimento. Vamos dividir o movimento do projétil em componentes horizontal e vertical e usar algumas fórmulas básicas para encontrar as respostas.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): Qual era a velocidade do avião?
Primeiro, precisamos entender que a velocidade do projétil quando foi solto é a mesma do avião. Como o avião está fazendo um mergulho de 37 graus abaixo da horizontal, a velocidade do avião tem duas componentes: uma horizontal (Vx) e uma vertical (Vy).
A componente vertical da velocidade inicial do projétil (Vy₀) é igual à velocidade do avião multiplicada pelo seno do ângulo de mergulho:
Vy₀ = V cdot sin(theta)
Onde:
  • é a velocidade do avião que queremos encontrar.
  • é o ângulo de mergulho.

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento vertical do projétil. Sabemos que o projétil leva 5 segundos para atingir o solo a partir de uma altura de 730 metros. A equação do movimento vertical com aceleração da gravidade é:
y = Vy₀ cdot t + 12 cdot g cdot t^2
Onde:
  • -730 = V cdot sin(37^circ) cdot 5 + 12 cdot 9,81 cdot (5)^2 é a variação de posição vertical (no caso, -730 m, já que o projétil está descendo).
  • é a aceleração da gravidade.
  • é o tempo de queda.
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar 12 cdot 9,81 cdot 25 = 122,625 , m :
Primeiro, calculamos o termo da gravidade:
-730 = V cdot sin(37^circ) cdot 5 + 122,625
Então, a equação fica:
V cdot sin(37^circ) cdot 5 = -730 - 122,625
Isolando V cdot sin(37^circ) cdot 5 = -852,625 :
V = -852,6255 cdot sin(37^circ)
sin(37^circ) approx 0,6018
Agora, isolamos V = -852,6255 cdot 0,6018 :
V = -852,6253,009
Calculando o seno de 37 graus:
V approx -283,28 , m/s
Então:
O sinal negativo indica que a direção está abaixo da horizontal, conforme esperado.

Passo 5

Agora, vamos para o item (b): Qual é a distância horizontal percorrida pelo projétil?
Sabemos que a componente horizontal da velocidade ( Vx = V cdot cos(theta) ) é constante, pois não há aceleração na direção horizontal (desprezando a resistência do ar).
Vx = 283,28 cdot cos(37^circ)
Usando a velocidade que encontramos:
cos(37^circ) approx 0,7986
Calculando o cosseno de 37 graus:
Vx = 283,28 cdot 0,7986
Então:
Vx approx 225,8 , m/s
x = Vx cdot t
A distância horizontal percorrida ( x = 225,8 cdot 5 ) é:
x = 1129 , m

Passo 6

Por fim, o item ©: Qual é o vetor velocidade do projétil imediatamente antes dele atingir o solo?
Para encontrar o vetor velocidade final ( Vyf = Vy₀ + g cdot t ), precisamos considerar ambas as componentes horizontal ( Vyf = 283,28 cdot sin(37^circ) + 9,81 cdot 5 ) e vertical ( Vyf = 283,28 cdot 0,6018 + 49,05 ).
Já temos Vyf approx 170,3 + 49,05 .
Agora, encontramos Vyf approx 219,35 , m/s usando a equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:
Vyf approx -219,35 , m/s
Vf = Vx i + Vyf j
Vf = 225,8 i - 219,35 j , m/s
Como o projétil está descendo, será negativo:
Então, o vetor velocidade é:

Resposta

(a) A velocidade do avião era aproximadamente 283,28 m/s.
(b) A distância horizontal percorrida pelo projétil foi de 1129 metros.
© O vetor velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo é .

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