Um objeto cilíndrico contém uma região oca de raio interno
e uma região maciça, não condutora, localizada entre o raio interno
e o raio externo
. A região maciça possui uma densidade volumétrica da cargas não uniforme
que é função da distância radial ra partir do eixo do cilindro:
.
- Determine uma expressão para o módulo do campo elétrico
nas seguintes regiões:
c)
.
- Esboce um gráfico de
para a região
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de campo elétrico ao redor de um cilindro com uma região oca e uma região maciça com carga. A gente vai usar Lei de Gauss para encontrar a expressão do campo elétrico $ E® $ na região onde a distância radial $ r $ é maior que o raio externo $ b $ do cilindro. Vamos precisar entender como a carga está distribuída e aplicar a Lei de Gauss para simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $:
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana em forma de cilindro com raio $ r > b $ e comprimento $ L $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga total $ Q_{total} $ dentro do raio $ b $. A densidade volumétrica de carga é dada por:
Para encontrar a carga total, integramos $ \rho® $ sobre o volume da região maciça (de $ a $ a $ b $):
Simplificando a integral:
Passo 4
Agora que temos a carga total dentro da nossa superfície gaussiana, podemos aplicar a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
Igualando isso à carga total dividida por $ \varepsilon_0 $:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ E® $:
Simplificando:
Resposta
O módulo do campo elétrico para $ r > b $ é dado por: