Um objeto cilíndrico contém uma região oca de raio interno a=2 c m e uma região maciça, não condutora, localizada entre o raio interno a e o raio externo b=2 a. A região maciça possui uma densidade volumétrica da cargas não uniforme rho que é função da distância radial ra partir do eixo do cilindro: rho(r)=5 r^-2 mu C / m.
  • Determine uma expressão para o módulo do campo elétrico E(r) nas seguintes regiões:
    c) r>b.
  • Esboce um gráfico de E(r) para a região 0 <= r <= 10 b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de campo elétrico ao redor de um cilindro com uma região oca e uma região maciça com carga. A gente vai usar Lei de Gauss para encontrar a expressão do campo elétrico $ E® $ na região onde a distância radial $ r $ é maior que o raio externo $ b $ do cilindro. Vamos precisar entender como a carga está distribuída e aplicar a Lei de Gauss para simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $:
varepsilon0
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana em forma de cilindro com raio $ r > b $ e comprimento $ L $.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga total $ Q_{total} $ dentro do raio $ b $. A densidade volumétrica de carga é dada por:
Qtotal
Para encontrar a carga total, integramos $ \rho® $ sobre o volume da região maciça (de $ a $ a $ b $):
b
Simplificando a integral:
rho(r) = 5r^2 , muC/m

Passo 4

Agora que temos a carga total dentro da nossa superfície gaussiana, podemos aplicar a Lei de Gauss. O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
oint E cdot dA = E(r) cdot 2pi r L
Igualando isso à carga total dividida por $ \varepsilon_0 $:
varepsilon0

Passo 5

Agora, vamos isolar $ E® $:
E(r)
Simplificando:
E(r) = 10pi L ln 22pi r L varepsilon0 = 5 ln 2r varepsilon0

Resposta

O módulo do campo elétrico para $ r > b $ é dado por:
r > b

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