Uma esfera não condutora de raio 4 cm possui uma densidade volumétrica de carga dada por rho=20 r(mu C / m^3). Determine o módulo do campo elétrico em: a) r=2 cm b) r=8 cm

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma esfera não condutora com raio de 4 cm e uma densidade volumétrica de carga que varia conforme a distância ao centro, dada por rho = 20 , r , (mu C/m^3). Nosso objetivo é descobrir o módulo do campo elétrico em dois pontos: quando a distância r é 2 cm (dentro da esfera) e 8 cm (fora da esfera). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a Lei de Gauss funciona. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. Matemáticamente:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0
Como nossa esfera tem simetria esférica, o campo elétrico E será radial e de mesma intensidade em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim, a expressão simplifica para:
E cdot 4pi r^2 = Qdentrovarepsilon0
Então, para encontrar E, precisamos calcular Qdentro, que é a carga total dentro do raio r considerado.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico para r = 2 , cm, que está dentro da esfera (pois 2 cm < 4 cm).
Primeiro, encontramos a carga total dentro desse raio:
Qdentro = integral0^r rho cdot 4pi r'^2 dr' = integral0^0.02 , m 20 r' cdot 4pi r'^2 dr'
Simplificando a integral:
Qdentro = 80pi integral0^0.02 r'^3 dr' = 80pi [ r'^44 ]0^0.02 = 80pi cdot (0.02)^44 = 80pi cdot 1.6 times 10^-74 = 80pi cdot 4 times 10^-8 = 3.2 times 10^-6 pi , C
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
E cdot 4pi (0.02)^2 = 3.2 times 10^-6 pivarepsilon0
Resolvendo para E:
E = 3.2 times 10^-6 pi4pi (0.0004) varepsilon0 = 3.2 times 10^-64 times 0.0004 times varepsilon0 = 3.2 times 10^-60.0016 varepsilon0 = 2 times 10^-3varepsilon0
Usando varepsilon0 = 8.85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2:
E = 2 times 10^-38.85 times 10^-12 approx 2.26 times 10^8 , N/C

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico para r = 8 , cm, que está fora da esfera (já que 8 cm > 4 cm).
Aqui, a carga total dentro da esfera é a carga total da esfera, que calculamos anteriormente integrando até r = 4 , cm:
Qtotal = integral0^0.04 , m 20 r' cdot 4pi r'^2 dr' = 80pi integral0^0.04 r'^3 dr' = 80pi cdot (0.04)^44 = 80pi cdot 2.56 times 10^-54 = 80pi cdot 6.4 times 10^-6 = 5.12 times 10^-4 pi , C
Aplicando a Lei de Gauss para r = 0.08 , m:
E cdot 4pi (0.08)^2 = 5.12 times 10^-4 pivarepsilon0
Resolvendo para E:
E = 5.12 times 10^-4 pi4pi (0.0064) varepsilon0 = 5.12 times 10^-44 times 0.0064 times varepsilon0 = 5.12 times 10^-40.0256 varepsilon0 = 2 times 10^-2varepsilon0
Usando varepsilon0 = 8.85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2:
E = 2 times 10^-28.85 times 10^-12 approx 2.26 times 10^9 , N/C

Resposta

a) Para r = 2 , cm, o campo elétrico é aproximadamente 2.26 times 10^8 , N/C.
b) Para r = 8 , cm, o campo elétrico é aproximadamente 2.26 times 10^9 , N/C.

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