Uma esfera não condutora de raio 4 cm possui uma densidade volumétrica de carga dada por
. Determine o módulo do campo elétrico em: a)
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma esfera não condutora com raio de 4 cm e uma densidade volumétrica de carga que varia conforme a distância ao centro, dada por
. Nosso objetivo é descobrir o módulo do campo elétrico em dois pontos: quando a distância
é 2 cm (dentro da esfera) e 8 cm (fora da esfera). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a Lei de Gauss funciona. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. Matemáticamente:
Como nossa esfera tem simetria esférica, o campo elétrico
será radial e de mesma intensidade em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim, a expressão simplifica para:
Então, para encontrar
, precisamos calcular
, que é a carga total dentro do raio
considerado.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico para
, que está dentro da esfera (pois 2 cm < 4 cm).
Primeiro, encontramos a carga total dentro desse raio:
Simplificando a integral:
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Usando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico para
, que está fora da esfera (já que 8 cm > 4 cm).
Aqui, a carga total dentro da esfera é a carga total da esfera, que calculamos anteriormente integrando até
:
Aplicando a Lei de Gauss para
:
Resolvendo para
:
Usando
:
Resposta
a) Para
, o campo elétrico é aproximadamente
.
b) Para , o campo elétrico é aproximadamente
.
b) Para