Um objeto cilíndrico contém uma região oca de raio interno
e uma região maciça, não condutora, localizada entre o raio interno
e o raio externo
. A região maciça possui uma densidade volumétrica da cargas não uniforme
que é função da distância radial ra partir do eixo do cilindro:
.
- Determine uma expressão para o módulo do campo elétrico
nas seguintes regiões:
a)
;
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro com uma parte oca de raio interno $ a = 2 , cm $ e uma camada maciça não condutora que vai de $ a $ até $ b = 2a = 4 , cm $. A densidade de carga nessa camada maciça não é constante; ela depende da distância radial $ r $ a partir do eixo do cilindro, dada por $ \rho® = 5 r^{-2} , \muC/m $. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para o módulo do campo elétrico $ E® $ na região $ 0 < r < a $, ou seja, dentro da parte oca do cilindro.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria. Precisaremos também entender como a distribuição de carga afeta o campo elétrico dentro de diferentes regiões do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma superfície gaussiana adequada para aplicar a Lei de Gauss. Como estamos lidando com um cilindro e queremos encontrar o campo elétrico em uma região específica (dentro da parte oca), a melhor escolha é uma superfície cilíndrica concentrica ao cilindro original, com raio $ r $ tal que $ 0 < r < a $ e comprimento $ L $.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a carga elétrica líquida $ Q_{enc} $ dentro dessa superfície gaussiana. A carga total dentro dessa superfície é a integral da densidade de carga $ \rho® $ sobre o volume encerrado. No entanto, na região $ 0 < r < a $, o cilindro é oco, ou seja, não há carga presente dentro dessa parte. Portanto, a carga encerrada $ Q_{enc} = 0 $.
Passo 4
Aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que:
Onde:
- $ \mathbf{E} $ é o campo elétrico.
- $ d\mathbf{A} $ é um elemento de área da superfície gaussiana.
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo ($ \approx 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $).
Como $ Q_{enc} = 0 $, temos:
Passo 5
Devido à simetria cilíndrica e ao fato de que não há carga dentro da superfície gaussiana, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ deve ser zero em todas as direções dentro da região oca. Caso contrário, haveria um fluxo elétrico não nulo, o que contradiz o fato de que $ Q_{enc} = 0 $.
Resposta
O módulo do campo elétrico na região $ 0 < r < a $ é: