Um objeto de massa m=4 kg presa na extremidade de uma mola ideal de constante de elasticidade k oscila segundo a seguinte solução geral de sua equação de movimento: x=4 cos (1.33 t+pi / 5) em que a distância é medida em metros e o tempo em segundo (considere o sistema isolado sem qualquer participação de forças dissipativas). Determine
b) a equação da velocidade desse movimento

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre oscilações! O enunciado fala sobre um objeto de massa $ m = 4 , kg $ preso em uma mola que oscila de acordo com a equação $ x = 4 \cos(1.33 t + \frac{\pi}{5}) $. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da velocidade desse movimento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação $ x = 4 \cos(1.33 t + \frac{\pi}{5}) $ representa. Ela descreve a posição do objeto em função do tempo, onde:
  • $ x $ é a posição em metros,
  • $ t $ é o tempo em segundos,
  • $ 4 $ é a amplitude da oscilação,
  • $ 1.33 $ é a frequência angular,
  • $ \frac{\pi}{5} $ é a fase inicial.
Como queremos a equação da velocidade, precisamos encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada de $ x $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos lembrar que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. Matemáticamente, isso é representado por:
v(t)
Então, vamos derivar a função $ x(t) = 4 \cos(1.33 t + \frac{\pi}{5}) $.

Passo 4

Para derivar $ x(t) = 4 \cos(1.33 t + \frac{\pi}{5}) $, usamos a regra da derivada da função cosseno. Sabemos que:
x(t) = 4 cos(1.33 t + pi5)
Onde $ u = 1.33 t + \frac{\pi}{5} $.

Passo 5

Aplicando a regra acima:
dxdt = -4 sin(1.33 t + pi5) cdot ddt(1.33 t + pi5)
Agora, derivamos $ u = 1.33 t + \frac{\pi}{5} $:
u = 1.33 t + pi5

Passo 6

Substituindo $ \frac{du}{dt} $ na expressão da derivada:
dudt
Simplificando os coeficientes:
v(t) = -4 cdot 1.33 sin(1.33 t + pi5)

Resposta

A equação da velocidade do movimento é:
v(t) = -5.32 , sin(1.33, t + pi5)

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