Um objeto de massa
presa na extremidade de uma mola ideal de constante de elasticidade
oscila segundo a seguinte solução geral de sua equação de movimento:
em que a distância é medida em metros e o tempo em segundo (considere o sistema isolado sem qualquer participação de forças dissipativas). Determine
b) a equação da velocidade desse movimento
b) a equação da velocidade desse movimento
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre oscilações! O enunciado fala sobre um objeto de massa $ m = 4 , kg $ preso em uma mola que oscila de acordo com a equação $ x = 4 \cos(1.33 t + \frac{\pi}{5}) $. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação da velocidade desse movimento. Para isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação $ x = 4 \cos(1.33 t + \frac{\pi}{5}) $ representa. Ela descreve a posição do objeto em função do tempo, onde:
- $ x $ é a posição em metros,
- $ t $ é o tempo em segundos,
- $ 4 $ é a amplitude da oscilação,
- $ 1.33 $ é a frequência angular,
- $ \frac{\pi}{5} $ é a fase inicial.
Como queremos a equação da velocidade, precisamos encontrar a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada de $ x $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos lembrar que a velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $. Matemáticamente, isso é representado por:
Então, vamos derivar a função $ x(t) = 4 \cos(1.33 t + \frac{\pi}{5}) $.
Passo 4
Para derivar $ x(t) = 4 \cos(1.33 t + \frac{\pi}{5}) $, usamos a regra da derivada da função cosseno. Sabemos que:
Onde $ u = 1.33 t + \frac{\pi}{5} $.
Passo 5
Aplicando a regra acima:
Agora, derivamos $ u = 1.33 t + \frac{\pi}{5} $:
Passo 6
Substituindo $ \frac{du}{dt} $ na expressão da derivada:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A equação da velocidade do movimento é: