Um objeto em movimento ao longo de uma linha reta tem sua aceleração a(t) descrita pela equação:
Identifique os instantes de tempo em que a velocidade do objeto é zero. Classifique o movimento do objeto (aceleração positiva ou negativa) nesses instantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um objeto que está se movendo em linha reta e a aceleração dele muda com o tempo, dada pela equação:
Nosso objetivo aqui é descobrir em que momentos o objeto tem velocidade igual a zero e como está a aceleração nesse instante (se está puxando pra frente ou pra trás). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente como a aceleração está relacionada à velocidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade a partir da aceleração, fazemos o processo inverso: integramos a aceleração.
Então, temos:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Passo 3
Vamos fazer a integral:
Aqui, $ C $ é a constante de integração. Se não temos uma condição inicial (como a velocidade no tempo $ t = 0 $), vamos deixar $ C $ como uma constante.
Passo 4
Queremos encontrar os instantes onde a velocidade é zero, ou seja, resolver para $ \mathrm{v}(\mathrm{t}) = 0 $:
Porém, como não temos o valor de $ C $, precisamos de uma condição inicial. Vamos assumir que a velocidade inicial $ \mathrm{v}(0) $ é zero (ou seja, $ C = 0 $) para simplificar.
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para $ t $:
Portanto, as soluções são:
Passo 6
Agora, precisamos classificar o movimento nesses instantes, ou seja, verificar se a aceleração está positiva ou negativa quando a velocidade é zero.
Vamos usar a equação da aceleração:
Para $ \mathrm{t} = 0 $:
Para $ \mathrm{t} = 4 $:
Resposta
Os instantes em que a velocidade do objeto é zero são $ \mathrm{t} = 0 $ segundos e $ \mathrm{t} = 4 $ segundos. No instante $ \mathrm{t} = 0 $, a aceleração é negativa, e no instante $ \mathrm{t} = 4 $ segundos, a aceleração é positiva.