Um objeto em movimento ao longo de uma linha reta tem sua aceleração a(t) descrita pela equação:
a(t)=3 t-6(SI)
Identifique os instantes de tempo em que a velocidade do objeto é zero. Classifique o movimento do objeto (aceleração positiva ou negativa) nesses instantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um objeto que está se movendo em linha reta e a aceleração dele muda com o tempo, dada pela equação:
a(t) = 3t - 6 (SI)
Nosso objetivo aqui é descobrir em que momentos o objeto tem velocidade igual a zero e como está a aceleração nesse instante (se está puxando pra frente ou pra trás). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, especificamente como a aceleração está relacionada à velocidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade a partir da aceleração, fazemos o processo inverso: integramos a aceleração.
Então, temos:
a(t) = dv(t)dt = 3t - 6
Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
t

Passo 3

Vamos fazer a integral:
v(t) = integral 3t , dt - integral 6 , dt = 32t^2 - 6t + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração. Se não temos uma condição inicial (como a velocidade no tempo $ t = 0 $), vamos deixar $ C $ como uma constante.

Passo 4

Queremos encontrar os instantes onde a velocidade é zero, ou seja, resolver para $ \mathrm{v}(\mathrm{t}) = 0 $:
v(t) = 0
Porém, como não temos o valor de $ C $, precisamos de uma condição inicial. Vamos assumir que a velocidade inicial $ \mathrm{v}(0) $ é zero (ou seja, $ C = 0 $) para simplificar.
Então, a equação fica:
32t^2 - 6t + C = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para $ t $:
t
Portanto, as soluções são:
32t^2 - 6t = 0 Rightarrow 3t^2 - 12t = 0 Rightarrow 3t(t - 4) = 0

Passo 6

Agora, precisamos classificar o movimento nesses instantes, ou seja, verificar se a aceleração está positiva ou negativa quando a velocidade é zero.
Vamos usar a equação da aceleração:
a(t) = 3t - 6
Para $ \mathrm{t} = 0 $:
t = 0
Para $ \mathrm{t} = 4 $:
a(0) = 3(0) - 6 = -6 (negativa)

Resposta

Os instantes em que a velocidade do objeto é zero são $ \mathrm{t} = 0 $ segundos e $ \mathrm{t} = 4 $ segundos. No instante $ \mathrm{t} = 0 $, a aceleração é negativa, e no instante $ \mathrm{t} = 4 $ segundos, a aceleração é positiva.

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