A velocidade de um objeto que se move ao longo de uma linha reta é descrita pela função:
v(t)=6 t^2-12 t+8(S I)
Sabendo que a posição inicial do objeto é s(0)=0, determine a equação da posição s(t) em função do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento retilíneo onde a velocidade do objeto é dada por $ v(t) = 6t^{2} - 12t + 8 $ (unidades do SI). Queremos descobrir a posição do objeto em função do tempo, ou seja, encontrar $ s(t) $, sabendo que no tempo inicial $ t = 0 $, a posição é $ s(0) = 0 $. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo que relaciona velocidade e posição através da integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a posição $ s(t) $ é a integral da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
s(t)
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Vamos integrar a função de velocidade:
integral v(t) , dt = integral (6t^2 - 12t + 8) , dt
Vamos integrar termo por termo:
  • A integral de $ 6t^{2} $ é $ 6 \cdot \frac{t^{3}}{3} = 2t^{3} $
  • A integral de $ -12t $ é $ -12 \cdot \frac{t^{2}}{2} = -6t^{2} $
  • A integral de $ 8 $ é $ 8t $
Então, somando tudo:
6t^2

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante $ C $. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ s(0) = 0 $:
C

Passo 5

Com $ C = 0 $, a equação da posição fica:
C = 0

Resposta

A equação da posição em função do tempo é:
s(t) = 2t^3 - 6t^2 + 8t

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