A velocidade de um objeto que se move ao longo de uma linha reta é descrita pela função:
Sabendo que a posição inicial do objeto é
, determine a equação da posição
em função do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento retilíneo onde a velocidade do objeto é dada por $ v(t) = 6t^{2} - 12t + 8 $ (unidades do SI). Queremos descobrir a posição do objeto em função do tempo, ou seja, encontrar $ s(t) $, sabendo que no tempo inicial $ t = 0 $, a posição é $ s(0) = 0 $. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo que relaciona velocidade e posição através da integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a posição $ s(t) $ é a integral da velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Vamos integrar a função de velocidade:
Vamos integrar termo por termo:
- A integral de $ 6t^{2} $ é $ 6 \cdot \frac{t^{3}}{3} = 2t^{3} $
- A integral de $ -12t $ é $ -12 \cdot \frac{t^{2}}{2} = -6t^{2} $
- A integral de $ 8 $ é $ 8t $
Então, somando tudo:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante $ C $. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ s(0) = 0 $:
Passo 5
Com $ C = 0 $, a equação da posição fica:
Resposta
A equação da posição em função do tempo é: