Obs.: Dessas duas questōes seguintes, resolver apenas uma (3a ou 3b).
Partindo das condiçōes de composição constante, sabendo que d H=T d S+V d P e sabendo também que d G=-S d T+V d P e também que Z=P V / R T, onde V representa o Volume Molar; (a) obtenha a expressīo a seguir; (b) como ficaria essa expressão se o fluido fosse um gás ideal? (1,5)
d H=CP d T-R T^2P partial Zpartial T|P d P

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma questão de Termodinâmica que pede para a gente derivar uma expressão para a variação da entalpia ( dH) em condições de composição constante. Vamos precisar entender algumas equações diferenciais importantes, como as de entalpia ( dH = T dS + V dP) e de energia livre de Gibbs ( dG = -S dT + V dP), além da definição do fator de compressibilidade ( Z = P VR T). Nosso objetivo é chegar na expressão:
d H = CP d T - R T^2P partial Zpartial T|P d P

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a entalpia ( H) é uma função de estado que depende da temperatura ( T) e da pressão ( P). A expressão diferencial para a entalpia é dada por:
dH = T dS + V dP
Aqui, CP é a capacidade calorífica a pressão constante, que relaciona a variação da entalpia com a variação da temperatura.

Passo 3

Sabemos que a capacidade calorífica a pressão constante é definida como:
CP = (partial Hpartial T)P
Isso significa que a variação da entalpia com a temperatura a pressão constante é igual a CP. Então, podemos reescrever dH como:
dH = CP dT + (partial Hpartial P)T dP

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para (partial Hpartial P)T. Para isso, vamos usar a relação entre entalpia H, energia livre de Gibbs G, e a definição do fator de compressibilidade Z.
Sabemos que:
G = H - T S
Diferenciando ambos os lados, temos:
dG = dH - T dS - S dT
Mas também sabemos que:
dG = -S dT + V dP
Comparando as duas expressões para dG, obtemos:
dH - T dS - S dT = -S dT + V dP
Simplificando, temos:
dH = T dS + V dP
O que confirma a expressão inicial para dH. Porém, para encontrar (partial Hpartial P)T, precisamos relacionar com o fator de compressibilidade Z.

Passo 5

A definição do fator de compressibilidade é:
Z = P VR T
Vamos rearranjar para encontrar V:
V = Z R TP
Agora, a entalpia pode ser relacionada com Z através de sua dependência com a pressão e temperatura. Considerando a derivada de V em relação à temperatura a pressão constante:
(partial Vpartial T)P = RP (Z + T partial Zpartial T)P

Passo 6

Voltando à expressão para dH, temos:
dH = CP dT + (partial Hpartial P)T dP
Para encontrar (partial Hpartial P)T, usamos a relação termodinâmica que envolve o volume e a entropia:
(partial Hpartial P)T = T (partial Spartial P)T + V
Usando as relações de Maxwell e a definição de Z, podemos substituir e chegar à expressão desejada.

Resposta

d H = CP d T - R T^2P partial Zpartial T|P d P

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