Obs.: Dessas duas questōes seguintes, resolver apenas uma (3a ou 3b).
Partindo das condiçōes de composição constante, sabendo que e sabendo também que e também que , onde representa o Volume Molar; (a) obtenha a expressīo a seguir; (b) como ficaria essa expressão se o fluido fosse um gás ideal?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma questão de Termodinâmica que pede para a gente derivar uma expressão para a variação da entalpia (dH) em condições de composição constante. Vamos precisar entender algumas equações diferenciais importantes, como as de entalpia (dH = T dS + V dP) e de energia livre de Gibbs (dG = -S dT + V dP), além da definição do fator de compressibilidade (Z = P VR T). Nosso objetivo é chegar na expressão:
d H = CP d T - R T^2P partial Zpartial T|P d P
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a entalpia (H) é uma função de estado que depende da temperatura (T) e da pressão (P). A expressão diferencial para a entalpia é dada por:
dH = T dS + V dP
Aqui, CP é a capacidade calorífica a pressão constante, que relaciona a variação da entalpia com a variação da temperatura.
Passo 3
Sabemos que a capacidade calorífica a pressão constante é definida como:
CP = (partial Hpartial T)P
Isso significa que a variação da entalpia com a temperatura a pressão constante é igual a CP. Então, podemos reescrever dH como:
dH = CP dT + (partial Hpartial P)T dP
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a expressão para (partial Hpartial P)T. Para isso, vamos usar a relação entre entalpia H, energia livre de Gibbs G, e a definição do fator de compressibilidade Z.
Sabemos que:
G = H - T S
Diferenciando ambos os lados, temos:
dG = dH - T dS - S dT
Mas também sabemos que:
dG = -S dT + V dP
Comparando as duas expressões para dG, obtemos:
dH - T dS - S dT = -S dT + V dP
Simplificando, temos:
dH = T dS + V dP
O que confirma a expressão inicial para dH. Porém, para encontrar (partial Hpartial P)T, precisamos relacionar com o fator de compressibilidade Z.
Passo 5
A definição do fator de compressibilidade é:
Z = P VR T
Vamos rearranjar para encontrar V:
V = Z R TP
Agora, a entalpia pode ser relacionada com Z através de sua dependência com a pressão e temperatura. Considerando a derivada de V em relação à temperatura a pressão constante:
(partial Vpartial T)P = RP (Z + T partial Zpartial T)P
Passo 6
Voltando à expressão para dH, temos:
dH = CP dT + (partial Hpartial P)T dP
Para encontrar (partial Hpartial P)T, usamos a relação termodinâmica que envolve o volume e a entropia:
(partial Hpartial P)T = T (partial Spartial P)T + V
Usando as relações de Maxwell e a definição de Z, podemos substituir e chegar à expressão desejada.