Observa-se que a distribuição de temperatura, em regime estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de
e espessura de 50 mm tem a forma
, em que
está em
e x , em metros. O perfil de temperaturas quadrático indica que há geração de calor na parede. Pede-se: Qual a taxa de geração de calor?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parede unidimensional com 50 mm de espessura e condutividade térmica de
. A distribuição de temperatura na parede é dada por
, onde
está em graus Celsius e
em metros. Como a função de temperatura é quadrática, isso indica que tem geração de calor dentro da parede. Nosso objetivo aqui é encontrar a taxa de geração de calor nessa parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em regime estacionário com geração interna. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, a gente vai descomplicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor para um meio unidimensional em regime estacionário com geração interna de calor. A equação é:
Aqui:
-
é a segunda derivada da temperatura em relação a , que nos dá a curvatura da distribuição de temperatura. -
é a taxa de geração de calor por unidade de volume (em ). -
é a condutividade térmica do material.
Nesse exercício, conhecemos
e a expressão para
, então nossa missão é encontrar
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Dada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir a segunda derivada na equação de condução de calor:
Aqui, substituímos
e
.
Passo 5
Vamos isolar
na equação:
Multiplicando ambos os lados por 50:
Passo 6
Calculando o valor:
Resposta
A taxa de geração de calor na parede é
.