Observa-se que a distribuição de temperatura, em regime estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de 50 W /(m K) e espessura de 50 mm tem a forma T(x)= 200-2000 x^2, em que T está em ^circ C e x , em metros. O perfil de temperaturas quadrático indica que há geração de calor na parede. Pede-se: Qual a taxa de geração de calor?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parede unidimensional com 50 mm de espessura e condutividade térmica de . A distribuição de temperatura na parede é dada por , onde está em graus Celsius e em metros. Como a função de temperatura é quadrática, isso indica que tem geração de calor dentro da parede. Nosso objetivo aqui é encontrar a taxa de geração de calor nessa parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em regime estacionário com geração interna. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, a gente vai descomplicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor para um meio unidimensional em regime estacionário com geração interna de calor. A equação é:
d^2Tdx^2 + Q'''k = 0
Aqui:
  • é a segunda derivada da temperatura em relação a , que nos dá a curvatura da distribuição de temperatura.
  • é a taxa de geração de calor por unidade de volume (em ).
  • é a condutividade térmica do material.
Nesse exercício, conhecemos e a expressão para , então nossa missão é encontrar .

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira e a segunda derivada de T(x) = 200 - 2000x^2 em relação a dTdx = -4000x .
Dada:
d^2Tdx^2 = -4000
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir a segunda derivada na equação de condução de calor:
-4000 + Q'''50 = 0
Aqui, substituímos e .

Passo 5

Vamos isolar Q'''50 = 4000 na equação:
Q''' = 4000 times 50
Multiplicando ambos os lados por 50:

Passo 6

Calculando o valor:
Q''' = 200,000 , W/m^3

Resposta

A taxa de geração de calor na parede é .

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