Observa-se que a distribuição de temperatura, em regime estacionário, no interior de uma parede unidimensional com condutividade térmica de
e espessura de 50 mm tem a forma
, em que
está em
e x , em metros. O perfil de temperaturas quadrático indica que há geração de calor na parede. Pede-se: Qual a taxa de geração de calor?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parede unidimensional com 50 mm de espessura e condutividade térmica de
. A distribuição de temperatura na parede é dada por
, onde
está em graus Celsius e
em metros. Como a função de temperatura é quadrática, isso indica que tem geração de calor dentro da parede. Nosso objetivo aqui é encontrar a taxa de geração de calor nessa parede.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor em regime estacionário com geração interna. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, a gente vai descomplicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de condução de calor para um meio unidimensional em regime estacionário com geração interna de calor. A equação é:
Aqui:
-
é a segunda derivada da temperatura em relação a , que nos dá a curvatura da distribuição de temperatura. -
é a taxa de geração de calor por unidade de volume (em ). -
é a condutividade térmica do material.
Nesse exercício, conhecemos
e a expressão para
, então nossa missão é encontrar
.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Dada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir a segunda derivada na equação de condução de calor:
Aqui, substituímos
e
.
Passo 5
Vamos isolar
na equação:
Multiplicando ambos os lados por 50:
Passo 6
Calculando o valor:
Resposta
A taxa de geração de calor na parede é
.
Exercícios relacionados
Um bastão de metal de comprimento
, diâmetro
e conduti vidade térmica
está encravado em uma parede de um isolant perfeito, expondo a metade do seu comprimento a uma corrent de ar que se encontra a temperatura
e fornece um coeficients convectivo
na superfície do bastão. Um campo eletromagnétict induz uma geração de energia volumétrica a uma taxa uniforme
no interior da porção encravada do bastão.
(a) Deduza uma expressão para a temperatura
na base da metade exposta do bastâo, em regime estacionário. A região exposta pode ser aproximada como uma aleta muito longa.
(b) Deduza uma expressão para a temperatura na extremidade da metade encravada do bastão, em regime estacionário.
© Usando valores numéricos fornecidos no esquema, represente graficamente a distribuição de temperaturas no bastão e descreva características importantes desta distribuição. O bastão se comporta como uma aleta muito longa?
(b) Deduza uma expressão para a temperatura
© Usando valores numéricos fornecidos no esquema, represente graficamente a distribuição de temperaturas no bastão e descreva características importantes desta distribuição. O bastão se comporta como uma aleta muito longa?
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. Uma salsicha está inicialmente a
e é colocada para ferver em água a
. Considerando que o coeficiente de transferência de calor na superfície da salsicha é
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Temperatura do vapor
Temperatura do ar e da parede da usina:
Tubos de aço:
Diâmetro interno: 300 mm
Espessura da parede: 30 mm
Isolamento, silicato de cálcio:
Emissividade das lâminas de alumínio:
Considerando que a temperatura da superfície interna do tubo de aço corresponde à do vapor e que o coeficiente de convecção para a lâmina de alumínio é de , qual a espessura mínima necessária do isolamento para garantir que a temperatura do alumínio não exceda
? Qual a perda de calor correspondente por metro do comprimento do tubo? (R: 214 mm ;
)
Temperatura do vapor
Temperatura do ar e da parede da usina:
Tubos de aço:
Diâmetro interno: 300 mm
Espessura da parede: 30 mm
Isolamento, silicato de cálcio:
Emissividade das lâminas de alumínio:
Considerando que a temperatura da superfície interna do tubo de aço corresponde à do vapor e que o coeficiente de convecção para a lâmina de alumínio é de