Um bastão de metal de comprimento 2 L, diâmetro D e conduti vidade térmica k está encravado em uma parede de um isolant perfeito, expondo a metade do seu comprimento a uma corrent de ar que se encontra a temperatura Tinfty e fornece um coeficients convectivo h na superfície do bastão. Um campo eletromagnétict induz uma geração de energia volumétrica a uma taxa uniforme dotq no interior da porção encravada do bastão.
(a) Deduza uma expressão para a temperatura Tb na base da metade exposta do bastâo, em regime estacionário. A região exposta pode ser aproximada como uma aleta muito longa.
(b) Deduza uma expressão para a temperatura Tf na extremidade da metade encravada do bastão, em regime estacionário.
© Usando valores numéricos fornecidos no esquema, represente graficamente a distribuição de temperaturas no bastão e descreva características importantes desta distribuição. O bastão se comporta como uma aleta muito longa?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um bastão de metal com comprimento total 2L, diâmetro D e condutividade térmica k. Esse bastão está preso em uma parede isolante, de modo que metade dele está embutida na parede (metade “encravada”) e a outra metade está exposta ao ar com temperatura Tinfty. O ar faz com que haja uma transferência de calor por convecção na superfície do bastão, com um coeficiente convectivo h. Além disso, na parte embutida do bastão, um campo eletromagnético está gerando energia por unidade de volume a uma taxa uniforme dotq.
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor, convecção e geração interna de calor para resolver as questões. Vamos resolver parte por parte, começando pela parte (a).

Passo 2

Parte (a): Deduzir uma expressão para a temperatura Tb na base da metade exposta do bastão, em regime estacionário.
Primeiro, vamos focar na metade do bastão que está exposta ao ar. Como essa região está exposta e podemos aproximá-la como uma aleta muito longa, vamos considerar que a transferência de calor ocorre principalmente por convecção na superfície.
Em regime estacionário, o calor que flui pela condução no bastão deve ser igual ao calor perdido por convecção para o ambiente.
A equação básica de condução de calor unidimensional em regime estacionário é dada por:
d^2 Tdx^2 = 0
Mas como há geração de calor na porção encravada, na parte exposta não há geração (já que a geração ocorre apenas na porção embutida). Portanto, para a parte exposta, podemos simplificar a equação.
A transferência de calor por convecção é dada por:
q'' = h (T - Tinfty)
onde q'' é a densidade de fluxo de calor por convecção.
No caso de uma aleta muito longa, a temperatura na base da aleta ( Tb) é a mesma que a temperatura do bastão na interface com a parte embutida.

Passo 3

Para deduzir a expressão para Tb, consideramos o equilíbrio de energia na região exposta:
k A dTdx = h As (Tb - Tinfty)
Onde:
  • k é a condutividade térmica,
  • A é a área da seção transversal do bastão,
  • As é a área superficial por onde ocorre a convecção.
Para uma aleta muito longa, a perda de calor por convecção é balanceada pela condução no bastão. A solução dessa equação nos dá a temperatura na base da aleta.
A solução simplificada para uma aleta infinita é:
Tb = Tinfty + q Lh D
Onde L é o comprimento da aleta, D é o diâmetro do bastão, e q é a taxa de geração de calor por unidade de volume.

Passo 4

Portanto, a expressão para a temperatura Tb na base da metade exposta do bastão, em regime estacionário, é:
Tb = Tinfty + dotq L^2h D k

Resposta

A temperatura na base da metade exposta do bastão em regime estacionário é dada por:
Tb = Tinfty + dotq L^2h D k

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