Um bastão de metal de comprimento
, diâmetro
e conduti vidade térmica
está encravado em uma parede de um isolant perfeito, expondo a metade do seu comprimento a uma corrent de ar que se encontra a temperatura
e fornece um coeficients convectivo
na superfície do bastão. Um campo eletromagnétict induz uma geração de energia volumétrica a uma taxa uniforme
no interior da porção encravada do bastão.
(a) Deduza uma expressão para a temperatura
na base da metade exposta do bastâo, em regime estacionário. A região exposta pode ser aproximada como uma aleta muito longa.
(b) Deduza uma expressão para a temperatura
na extremidade da metade encravada do bastão, em regime estacionário.
© Usando valores numéricos fornecidos no esquema, represente graficamente a distribuição de temperaturas no bastão e descreva características importantes desta distribuição. O bastão se comporta como uma aleta muito longa?
(b) Deduza uma expressão para a temperatura
© Usando valores numéricos fornecidos no esquema, represente graficamente a distribuição de temperaturas no bastão e descreva características importantes desta distribuição. O bastão se comporta como uma aleta muito longa?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um bastão de metal com comprimento total
, diâmetro
e condutividade térmica
. Esse bastão está preso em uma parede isolante, de modo que metade dele está embutida na parede (metade “encravada”) e a outra metade está exposta ao ar com temperatura
. O ar faz com que haja uma transferência de calor por convecção na superfície do bastão, com um coeficiente convectivo
. Além disso, na parte embutida do bastão, um campo eletromagnético está gerando energia por unidade de volume a uma taxa uniforme
.
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor, convecção e geração interna de calor para resolver as questões. Vamos resolver parte por parte, começando pela parte (a).
Passo 2
Parte (a): Deduzir uma expressão para a temperatura
na base da metade exposta do bastão, em regime estacionário.
Primeiro, vamos focar na metade do bastão que está exposta ao ar. Como essa região está exposta e podemos aproximá-la como uma aleta muito longa, vamos considerar que a transferência de calor ocorre principalmente por convecção na superfície.
Em regime estacionário, o calor que flui pela condução no bastão deve ser igual ao calor perdido por convecção para o ambiente.
A equação básica de condução de calor unidimensional em regime estacionário é dada por:
Mas como há geração de calor na porção encravada, na parte exposta não há geração (já que a geração ocorre apenas na porção embutida). Portanto, para a parte exposta, podemos simplificar a equação.
A transferência de calor por convecção é dada por:
onde
é a densidade de fluxo de calor por convecção.
No caso de uma aleta muito longa, a temperatura na base da aleta (
) é a mesma que a temperatura do bastão na interface com a parte embutida.
Passo 3
Para deduzir a expressão para
, consideramos o equilíbrio de energia na região exposta:
Onde:
-
é a condutividade térmica, -
é a área da seção transversal do bastão, -
é a área superficial por onde ocorre a convecção.
Para uma aleta muito longa, a perda de calor por convecção é balanceada pela condução no bastão. A solução dessa equação nos dá a temperatura na base da aleta.
A solução simplificada para uma aleta infinita é:
Onde
é o comprimento da aleta,
é o diâmetro do bastão, e
é a taxa de geração de calor por unidade de volume.
Passo 4
Portanto, a expressão para a temperatura
na base da metade exposta do bastão, em regime estacionário, é:
Resposta
A temperatura na base da metade exposta do bastão em regime estacionário é dada por:
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