Obtenha a distância entre duas retas paralelas: ® 2x+3y-6=0 e (s) 4x+6y+7=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Geometria Analítica. O que a gente precisa aqui é descobrir a distância entre duas retas paralelas dadas pelas equações $ ® \ 2x + 3y - 6 = 0 $ e $ (s) \ 4x + 6y + 7 = 0 $. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre retas paralelas.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que essas retas são realmente paralelas. Duas retas são paralelas se os coeficientes de $ x $ e $ y $ forem proporcionais. Olhando as equações:
- Para a reta $ r $: os coeficientes são $ A_1 = 2 $ e $ B_1 = 3 $.
- Para a reta $ s $: os coeficientes são $ A_2 = 4 $ e $ B_2 = 6 $.
Vendo as razões:
Como as razões são iguais, as retas são paralelas.
Passo 3
Agora, vamos padronizar as equações para que ambas tenham os mesmos coeficientes para $ x $ e $ y $. Vamos dividir a equação da reta $ s $ por 2 para facilitar:
Então, as equações ficam:
Passo 4
A fórmula para calcular a distância $ D $ entre duas retas paralelas $ A x + B y + C_1 = 0 $ e $ A x + B y + C_2 = 0 $ é:
Vamos identificar os valores na nossa situação:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 6
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{13} $:
Calculando o valor aproximado:
Resposta
A distância entre as duas retas paralelas é aproximadamente $ 2,63 $ unidades.