Obtenha a equação do conjunto de linhas equipotenciais devido a uma carga pontual localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação das linhas equipotenciais geradas por uma carga pontual localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente o potencial elétrico devido a uma carga pontual. Vamos precisar lembrar da fórmula do potencial elétrico e entender o que são linhas equipotenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do potencial elétrico
devido a uma carga pontual
localizada em um ponto. Em um espaço tridimensional, o potencial é dado por:
Aqui,
é a constante eletrostática (
) e
é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Passo 3
Agora, como estamos trabalhando em um sistema de coordenadas cartesianas, precisamos expressar a distância
em termos das coordenadas
e
. A distância do ponto
à origem é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Passo 4
Substituindo essa expressão de
na fórmula do potencial, temos:
Passo 5
As linhas equipotenciais são os locais onde o potencial
é constante. Vamos chamar essa constante de
. Portanto, podemos escrever:
Passo 6
Queremos expressar essa equação de forma mais simples. Vamos isolar a expressão
:
Passo 7
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos:
Passo 8
Percebemos que essa é a equação de um círculo com centro na origem
e raio
. Então, as linhas equipotenciais são círculos concêntricos ao redor da carga ponto na origem.
Resposta
A equação das linhas equipotenciais é
Isso representa círculos concêntricos centrados na origem, onde
é o valor constante do potencial elétrico.
Exercícios relacionados
Usando a lei de Gauss determine o campo elétrico devido a um cilindro metálico de raio
carregado para qualquer distancia medida a partir do eixo de tal cilindro. Use inicialmente o fato de que tal cilindro encontra-se carregado homogeneamente com densidade superficial de cargas
. Após isso redefina a densidade de cargas de forma a obter uma densidade linear de cargas
de maneira que seja possível obter a quantidade de carga por unidade de comprimento no cilindro, algo que é útil em vários casos de interesse.
Se
, calcule a corrente que passa através de: (a) uma casca hemisférica de raio de 20 cm e (b) uma casca esférica de raio 10 cm .
Uma distribuição de carga com simetria esférica tem densidade de cargas dada por:
Obtenha o campo elétrico via a Lei de Gauss e a partir disto determine o potencial
em qualquer ponto do espaço e a energia armazenada na região
. Feito isso, reconstitua o vetor campo elétrico originalmente calculado a partir das expressões obtidas para o potencial.
Um cubo dielétrico de aresta
e centro na origem tem polarização radial dada por
, onde
é uma constante
. Determine todas as densidades de cargas ligadas e demonstre que a carga ligada total se anula.