Obtenha a equação do conjunto de linhas equipotenciais devido a uma carga pontual localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação das linhas equipotenciais geradas por uma carga pontual localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente o potencial elétrico devido a uma carga pontual. Vamos precisar lembrar da fórmula do potencial elétrico e entender o que são linhas equipotenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do potencial elétrico V = k cdot Qr devido a uma carga pontual localizada em um ponto. Em um espaço tridimensional, o potencial é dado por:
Aqui, é a constante eletrostática ( ) e é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Agora, como estamos trabalhando em um sistema de coordenadas cartesianas, precisamos expressar a distância r = raizx^2 + y^2 em termos das coordenadas e . A distância do ponto à origem é dada pela fórmula da distância euclidiana:

Passo 4

Substituindo essa expressão de V = k cdot Qraizx^2 + y^2 na fórmula do potencial, temos:

Passo 5

As linhas equipotenciais são os locais onde o potencial C = k cdot Qraizx^2 + y^2 é constante. Vamos chamar essa constante de . Portanto, podemos escrever:

Passo 6

Queremos expressar essa equação de forma mais simples. Vamos isolar a expressão raizx^2 + y^2 = k cdot QC :

Passo 7

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz, obtemos:
x^2 + y^2 = ( k cdot QC )^2

Passo 8

Percebemos que essa é a equação de um círculo com centro na origem e raio . Então, as linhas equipotenciais são círculos concêntricos ao redor da carga ponto na origem.

Resposta

A equação das linhas equipotenciais é
x^2 + y^2 = ( k cdot QC )^2
Isso representa círculos concêntricos centrados na origem, onde é o valor constante do potencial elétrico.

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