Se , calcule a corrente que passa através de: (a) uma casca hemisférica de raio de 20 cm e (b) uma casca esférica de raio 10 cm .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos calcular a corrente que passa por duas superfícies diferentes: uma casca hemisférica de raio 20 cm e uma casca esférica completa de raio 10 cm. A matéria envolvida aqui é o cálculo de corrente a partir da densidade de corrente, utilizando integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar saber como integrar vetores em coordenadas esféricas e entender o que cada componente da densidade de corrente representa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente que passa por uma superfície é dada pela integral da densidade de corrente sobre essa superfície. Ou seja:
Aqui, é o vetor de área da superfície.
Passo 3
Vamos analisar a densidade de corrente dada:
Isso está em coordenadas esféricas, onde é a direção radial e é a direção polar.
Passo 4
Para a parte (a), que é a casca hemisférica de raio 20 cm (ou 0,2 m), vamos considerar que a superfície está na direção , já que é uma casca esférica. Ent��o, o vetor de área será:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Passo 6
Substituindo m:
Passo 7
Agora, vamos integrar sobre a casca hemisférica. Como é hemisfério, vai de a e de a :
Primeiro, integramos em :
Então:
I = 10 cdot 12 cdot integral0^2pi dphi = 5 cdot 2pi = 10pi , A
Passo 8
Para a parte (b), que é a casca esférica completa de raio 10 cm (ou 0,1 m), o procedimento é similar. O vetor de área agora cobre toda a esfera, então theta varia de 0 a pi.
Passo 9
Calculando o produto escalar J cdot dS para r = 0,1 m: