Usando a lei de Gauss determine o campo elétrico devido a um cilindro metálico de raio
carregado para qualquer distancia medida a partir do eixo de tal cilindro. Use inicialmente o fato de que tal cilindro encontra-se carregado homogeneamente com densidade superficial de cargas
. Após isso redefina a densidade de cargas de forma a obter uma densidade linear de cargas
de maneira que seja possível obter a quantidade de carga por unidade de comprimento no cilindro, algo que é útil em vários casos de interesse.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para usarmos a Lei de Gauss para achar o campo elétrico criado por um cilindro metálico de raio
que está carregado de maneira homogênea com uma densidade superficial de carga
. Depois, vamos redefinir essa densidade para obter uma densidade linear de carga
, que é bem útil em vários casos. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a simetrias cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante
:
Como temos um cilindro carregado, vamos escolher uma superfície gaussiana também em forma de cilindro, coaxial com o cilindro carregado. Isso aproveita a simetria do problema e facilita os cálculos.
Passo 3
Vamos considerar dois casos para a distância
em relação ao eixo do cilindro:
(dentro do cilindro) e
(fora do cilindro).
Para
:
A carga total dentro da superfície gaussiana é a carga na área superficial do cilindro:
onde
é o comprimento do cilindro.
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando, encontramos o campo elétrico fora do cilindro:
Para
:
Como a carga está distribuída apenas na superfície do cilindro, dentro da superfície gaussiana
, não há carga encerrada. Assim,
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 4
Agora, vamos redefinir a densidade de carga para uma densidade linear de carga
. Sabemos que a densidade linear é a carga por unidade de comprimento. Já que a carga está distribuída na superfície do cilindro, temos:
Portanto,
Isso nos ajuda a expressar o campo elétrico de forma mais conveniente:
Resposta
O campo elétrico devido ao cilindro metálico carregado é zero para distâncias menores que o raio
e, para qualquer distância
a partir do eixo, é dado por:
Onde
é a densidade linear de carga.
Exercícios relacionados
Se
, calcule a corrente que passa através de: (a) uma casca hemisférica de raio de 20 cm e (b) uma casca esférica de raio 10 cm .
Determine o potencial elétrico devido a uma linha de cargas infinita homogênea para qualquer ponto do espaço localizado a uma distancia
desta linha, tomando como referencia
a distancia
. Obtenha a equação das respectivas superfícies equipotenciais. Seria possível adotar
no infinito? Porque?
Obtenha a equação do conjunto de linhas equipotenciais devido a uma carga pontual localizada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas.
Uma distribuição de carga com simetria esférica tem densidade de cargas dada por:
Obtenha o campo elétrico via a Lei de Gauss e a partir disto determine o potencial
em qualquer ponto do espaço e a energia armazenada na região
. Feito isso, reconstitua o vetor campo elétrico originalmente calculado a partir das expressões obtidas para o potencial.