Obtenha uma equação para a distribuição de temperaturas no combustivel nuclear. Expresse seus resultados em termos de e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar uma equação para a distribuição de temperaturas dentro do combustível nuclear. Isso significa que queremos saber como a temperatura varia ao longo de uma certa distância dentro do material. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor, geração de calor interno e condições de contorno. Vamos precisar das seguintes variáveis:
: Taxa de geração de calor por unidade de volume.
: Condutividade térmica do combustível nuclear.
: Comprimento do combustível.
: Uma constante relacionada à geometria do sistema.
: Condutividade térmica do ambiente ou revestimento.
: Coeficiente de transferência de calor por convecção.
: Temperatura na parede ou superfície externa.
Passo 2
Vamos começar com a equação da condução de calor em regime estacionário (sem variação de temperatura no tempo). A equação geral para a condução de calor com geração interna é:
Aqui, representa a segunda derivada da temperatura em relação à posição , que está relacionada ao fluxo de calor, e representa a geração de calor por unidade de volume dividida pela condutividade térmica.
Passo 3
Agora, vamos integrar a equação para encontrar a expressão para . Integrando a equação uma vez em relação a :
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Integrando novamente para encontrar :
é outra constante de integração, que também será determinada pelas condições de contorno do problema.
Passo 5
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar e . Supondo que em , a temperatura seja máxima (), e em , a transferência de calor é dada por convecção com o ambiente:
Substituindo a expressão para :
Passo 6
Agora, substituímos pela expressão encontrada anteriormente:
Resolvendo essa equação para encontrar e .
Passo 7
Após resolver as equações para e , obtemos a expressão final para . Considerando os termos e rearranjando, chegamos à seguinte equação para a distribuição de temperaturas:
Resposta
A equação para a distribuição de temperaturas no combustível nuclear é: