Obtenha uma equação para a distribuição de temperaturas T(x) no combustivel nuclear. Expresse seus resultados em termos de dotq, kc, L, b, ke, h e Tw.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar uma equação para a distribuição de temperaturas dentro do combustível nuclear. Isso significa que queremos saber como a temperatura varia ao longo de uma certa distância dentro do material. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor, geração de calor interno e condições de contorno. Vamos precisar das seguintes variáveis:
  • : Taxa de geração de calor por unidade de volume.
  • : Condutividade térmica do combustível nuclear.
  • : Comprimento do combustível.
  • : Uma constante relacionada à geometria do sistema.
  • : Condutividade térmica do ambiente ou revestimento.
  • : Coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • : Temperatura na parede ou superfície externa.

Passo 2

Vamos começar com a equação da condução de calor em regime estacionário (sem variação de temperatura no tempo). A equação geral para a condução de calor com geração interna é:
d^2 T(x)dx^2 + dotqkc = 0
Aqui, representa a segunda derivada da temperatura em relação à posição , que está relacionada ao fluxo de calor, e representa a geração de calor por unidade de volume dividida pela condutividade térmica.

Passo 3

Agora, vamos integrar a equação para encontrar a expressão para d T(x)dx = -dotqkc x + C1 . Integrando a equação uma vez em relação a :
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Integrando novamente para encontrar T(x) = -dotq2 kc x^2 + C1 x + C2 :
é outra constante de integração, que também será determinada pelas condições de contorno do problema.

Passo 5

Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar -kc dTdxg|x=L = h ( T(L) - Tw ) e kc ( dotqkc L - C1 ) = h ( T(L) - Tw ) . Supondo que em , a temperatura seja máxima ( ), e em , a transferência de calor é dada por convecção com o ambiente:
Substituindo a expressão para :

Passo 6

Agora, substituímos kc ( dotqkc L - C1 ) = h ( -dotq2 kc L^2 + C1 L + C2 - Tw ) pela expressão encontrada anteriormente:
Resolvendo essa equação para encontrar e .

Passo 7

Após resolver as equações para T(x) = dotq2 kc (L^2 - x^2) + hkc Tw - Tmaxb x + Tw e , obtemos a expressão final para . Considerando os termos e rearranjando, chegamos à seguinte equação para a distribuição de temperaturas:

Resposta

A equação para a distribuição de temperaturas no combustível nuclear é:
T(x) = dotq2 kc ( L^2 - x^2 ) + hkc Tw - Tmaxb x + Tw

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