O ar em um cilindro-pistão está a 1800 K , 7 Mpa , e expande em um processo politrópico com n=1,5 até alcançar oito vezes o seu volume original. Determine o trabalho específico, além do calor específico transferido no processo, e desenhe o diagrama P-v. Utilize o calor específico constante para resolver o problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um processo de expansão de ar em um cilindro-pistão. Estamos lidando com termodinâmica, mais especificamente com processos politrópicos. A gente vai precisar entender o que é um processo politrópico, como calcular o trabalho específico e o calor transferido nesse processo. Além disso, vamos precisar usar algumas fórmulas de gases ideais para achar o volume inicial e final do ar. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Temperatura inicial (T₁): 1800 K
  • Pressão inicial (P₁): 7 MPa = 7 × 10⁶ Pa
  • Processo politrópico com n = 1,5
  • Volume final (V₂): 8 vezes o volume inicial (V₂ = 8 V₁)
Vamos supor que o ar se comporta como um gás ideal. Para isso, precisamos usar a equação dos gases ideais:
P V = m R T
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a massa,
  • é a constante específica do gás (para o ar, ),
  • é a temperatura.

Passo 3

Vamos assumir que estamos trabalhando com trabalho específico, ou seja, por unidade de massa. Portanto, podemos reescrever a equação dos gases ideais como:
P V = R T
Dessa forma, podemos encontrar o volume inicial V₁ = R T₁P₁ :
V₁ = 287 times 18007 times 10^6 = 5166007 times 10^6 approx 0,0738 , m³/kg
Substituindo os valores:
³

Passo 4

Sabemos que o volume final V₂ = 8 V₁ = 8 times 0,0738 approx 0,5904 , m³/kg é 8 vezes o volume inicial:
P₁ V₁^n = P₂ V₂^n ³
Agora, vamos encontrar a pressão final P₂ = P₁ ( V₁V₂ )^n = 7 times 10^6 ( 0,07380,5904 )^1,5 usando a relação dos processos politrópicos:
0,07380,5904 approx 0,125
Resolvendo para 0,125^1,5 = (0,125)^1 times (0,125)^0,5 = 0,125 times 0,3536 approx 0,0442 :
P₂ approx 7 times 10^6 times 0,0442 approx 309,4 times 10^3 , Pa = 0,3094 , MPa
Calculando o termo dentro do parênteses:
Elevando a 1,5 potência:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho específico (W) realizado durante o processo politrópico. A fórmula para o trabalho em um processo politrópico é:
W = P₂ V₂ - P₁ V₁1 - n
Substituindo os valores:
W = (309400 times 0,5904) - (7 times 10^6 times 0,0738)1 - 1,5
Calculando os termos:
P₂ V₂ = 309400 times 0,5904 approx 182,6 , kJ/kg
P₁ V₁ = 7 times 10^6 times 0,0738 approx 516,6 , kJ/kg
Substituindo na fórmula:
W = 182,6 - 516,6-0,5 = -334-0,5 = 668 , kJ/kg

Passo 6

Agora, vamos calcular o calor específico transferido (Q) no processo. Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica para processos específicos:
Q = De
Onde:
  • De é a variação da energia interna,
  • T V^n-1 = constante é o trabalho específico calculado anteriormente.
A variação da energia interna para um gás ideal é dada por:
T₂ = T₁ ( V₁V₂ )^n-1 = 1800 ( 0,07380,5904 )^0,5
Precisamos encontrar a temperatura final 0,07380,5904 approx 0,125 . Para isso, usamos a relação dos processos politrópicos:
0,125^0,5 = raiz0,125 approx 0,3536
Então:
T₂ approx 1800 times 0,3536 approx 636,5 , K
Calculando o termo dentro do parênteses:
Cv = 2871,4 - 1 = 2870,4 = 717,5 , J/(kg·K)
Elevando a 0,5:
De
Portanto:
Q = -835,0 + 668 = -167,0 , kJ/kg
Agora, calculando :
Para o ar, , onde . Sabemos que para o ar , então:
Agora:
Finalmente, calculando :

Passo 7

Por fim, vamos desenhar o diagrama P-v do processo. Em um processo politrópico com , a curva no diagrama P-v será uma curva decrescente, mais inclinada que o processo isotérmico (que tem ), mas menos inclinada que o processo adiabático (que tem ).

Resposta

O trabalho específico realizado durante o processo é de aproximadamente 668 kJ/kg, e o calor específico transferido é de -167 kJ/kg.

Exercícios relacionados