O ar em um cilindro-pistão está a 1800 K , 7 Mpa , e expande em um processo politrópico com
até alcançar oito vezes o seu volume original. Determine o trabalho específico, além do calor específico transferido no processo, e desenhe o diagrama
. Utilize o calor específico constante para resolver o problema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um processo de expansão de ar em um cilindro-pistão. Estamos lidando com termodinâmica, mais especificamente com processos politrópicos. A gente vai precisar entender o que é um processo politrópico, como calcular o trabalho específico e o calor transferido nesse processo. Além disso, vamos precisar usar algumas fórmulas de gases ideais para achar o volume inicial e final do ar. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Temperatura inicial (T₁): 1800 K
- Pressão inicial (P₁): 7 MPa = 7 × 10⁶ Pa
- Processo politrópico com n = 1,5
- Volume final (V₂): 8 vezes o volume inicial (V₂ = 8 V₁)
Vamos supor que o ar se comporta como um gás ideal. Para isso, precisamos usar a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a massa, -
é a constante específica do gás (para o ar, ), -
é a temperatura.
Passo 3
Vamos assumir que estamos trabalhando com trabalho específico, ou seja, por unidade de massa. Portanto, podemos reescrever a equação dos gases ideais como:
Dessa forma, podemos encontrar o volume inicial
:
Substituindo os valores:
Passo 4
Sabemos que o volume final
é 8 vezes o volume inicial:
Agora, vamos encontrar a pressão final
usando a relação dos processos politrópicos:
Resolvendo para
:
Calculando o termo dentro do parênteses:
Elevando a 1,5 potência:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho específico (W) realizado durante o processo politrópico. A fórmula para o trabalho em um processo politrópico é:
Substituindo os valores:
Calculando os termos:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular o calor específico transferido (Q) no processo. Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica para processos específicos:
Onde:
-
é a variação da energia interna, -
é o trabalho específico calculado anteriormente.
A variação da energia interna para um gás ideal é dada por:
Precisamos encontrar a temperatura final
. Para isso, usamos a relação dos processos politrópicos:
Então:
Calculando o termo dentro do parênteses:
Elevando a 0,5:
Portanto:
Agora, calculando
:
Para o ar,
, onde
. Sabemos que para o ar
, então:
Agora:
Finalmente, calculando
:
Passo 7
Por fim, vamos desenhar o diagrama P-v do processo. Em um processo politrópico com
, a curva no diagrama P-v será uma curva decrescente, mais inclinada que o processo isotérmico (que tem
), mas menos inclinada que o processo adiabático (que tem
).
Resposta
O trabalho específico realizado durante o processo é de aproximadamente 668 kJ/kg, e o calor específico transferido é de -167 kJ/kg.