Encontre os valores de a in R para os quais a transformação linear T : R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, a y+(-3 a+2) z, y-a z) é invertível (isto é, uma bijeção).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (x + 2y - 3z, a y + (-3a + 2)z, y - a z) definida por:
Queremos descobrir para quais valores de essa transformação é invertível, ou seja, uma bijeção. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é invertível se e somente se a matriz que a representa for invertível. E uma matriz é invertível quando seu determinante é diferente de zero. Então, nosso objetivo aqui é encontrar o determinante da matriz associada à transformação e ver para quais valores de esse determinante não é zero.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & -3 0 & a & -3a + 2 0 & 1 & -a que representa a transformação . Cada coluna dessa matriz corresponde às imagens dos vetores da base canônica , e pela transformação .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot a cdot (-a) + 2 cdot (-3a + 2) cdot 0 + (-3) cdot 0 cdot 1 - (-3) cdot a cdot 0 - 2 cdot 0 cdot (-a) - 1 cdot (-3a + 2) cdot 1 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
det(A) = -a^2 - (-3a + 2)
Simplificando os termos:
det(A) = -a^2 + 3a - 2

Passo 5

Agora, queremos que a matriz -a^2 + 3a - 2 neq 0 seja invertível, ou seja, a^2 - 3a + 2 = 0 . Então, precisamos encontrar os valores de que satisfazem:
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que não queremos, já que queremos que seja diferente de zero.
Multiplicando a equação por -1 para facilitar:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) = 0 . Podemos fatorar:
a = 1 ou a = 2
Então, as soluções são:

Passo 7

Esses valores de e tornam o determinante igual a zero, o que significa que a matriz não é invertível nesses casos. Portanto, a transformação não será invertível quando ou .

Passo 8

Finalmente, queremos saber para quais valores de a transformação é invertível. Ou seja, para todos os valores de exceto e .

Resposta

A transformação linear é invertível para todos os valores de exceto quando ou .

Exercícios relacionados

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
d) R^3=>=r(v1, v2, v3), em que v1=(-1,0,2), v2=(1,1,1) e v3=(-3,-2,0).
Obtenha as equações das elipses cujos focos e medidas do semieixo maior são dados: (-3,2),(-3,6), a=4
Encontre a transformação linear T: R^4 R^3 associada a matriz
A=[cccc -2 & -1 & 0 & 1 -1 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 & 3 ]
Verificar, em cada item, se B é uma base para o espaço vetorial V.
b) B=(ll1 & 1 0 & 0),(ll2 & 1 0 & 0),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 2) e V=M2(R)