Encontre os valores de a para os quais a transformação linear : dada por é invertível (isto é, uma bijeção).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
Queremos descobrir para quais valores de essa transformação é invertível, ou seja, uma bijeção. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é invertível se e somente se a matriz que a representa for invertível. E uma matriz é invertível quando seu determinante é diferente de zero. Então, nosso objetivo aqui é encontrar o determinante da matriz associada à transformação e ver para quais valores de esse determinante não é zero.
Passo 3
Vamos escrever a matriz que representa a transformação . Cada coluna dessa matriz corresponde às imagens dos vetores da base canônica , e pela transformação .
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot a cdot (-a) + 2 cdot (-3a + 2) cdot 0 + (-3) cdot 0 cdot 1 - (-3) cdot a cdot 0 - 2 cdot 0 cdot (-a) - 1 cdot (-3a + 2) cdot 1 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
det(A) = -a^2 - (-3a + 2)
Simplificando os termos:
det(A) = -a^2 + 3a - 2
Passo 5
Agora, queremos que a matriz -a^2 + 3a - 2 neq 0 seja invertível, ou seja, a^2 - 3a + 2 = 0 . Então, precisamos encontrar os valores de que satisfazem:
Vamos resolver a equação para encontrar os valores de que não queremos, já que queremos que seja diferente de zero.
Esses valores de e tornam o determinante igual a zero, o que significa que a matriz não é invertível nesses casos. Portanto, a transformação não será invertível quando ou .
Passo 8
Finalmente, queremos saber para quais valores de a transformação é invertível. Ou seja, para todos os valores de exceto e .
Resposta
A transformação linear é invertível para todos os valores de exceto quando ou .