Obtenha uma expressão para a pressão interna em uma bolha em função do raio, a partir de um balanço de forças de pressão e tensão superficial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma expressão para a pressão interna em uma bolha em função do seu raio. Para isso, vamos usar o balanço de forças que envolve a pressão interna e a tensão superficial da bolha. Vamos precisar conhecer os conceitos de pressão e tensão superficial para resolver esse problema.

Passo 2

Vamos lembrar o que é tensão superficial. É a força que atua na superfície de um líquido, fazendo com que ele se comporte como se estivesse coberto por uma membrana elástica. Essa força é representada pela letra grega γ (gamma) e tem unidades de N/m (newtons por metro).

Passo 3

Agora, consideremos a bolha. Ela tem uma superfície esférica com raio R. A tensão superficial atua ao longo dessa superfície, tentando reduzir a área da bolha. Por outro lado, a pressão interna (P) está empurrando para fora, tentando aumentar o raio da bolha.

Passo 4

Para que a bolha esteja em equilíbrio, as forças de tensão superficial devem equilibrar a força da pressão interna. Vamos calcular cada uma dessas forças.

Passo 5

A força devido à pressão interna pode ser calculada multiplicando a pressão P pela área da superfície da bolha. A área de uma esfera é dada por:
A = 4pi R^2
Então, a força da pressão interna é:
Fpressão = P times 4pi R^2 ã

Passo 6

A força devido à tensão superficial atua ao longo da linha onde a superfície da bolha está tensionada. Em uma esfera, a força total da tensão superficial é a tensão γ multiplicada pela circunferência da esfera:
Ftensão = gamma times 2pi R times 2 ã
Aqui, o fator 2 vem do fato de que a tensão atua em ambas as interfaces da bolha (entrada e saída).

Passo 7

Para o equilíbrio das forças, a força da pressão interna deve igualar a força da tensão superficial:
P times 4pi R^2 = 4pi R gamma

Passo 8

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a pressão P em função do raio R:
P = 4pi R gamma4pi R^2 = gammaR

Resposta

A expressão para a pressão interna P = 2gammaR em uma bolha em função do raio é:

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