Determinar: a equação da trajetória da partícula fluida que passa pelo ponto
no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da trajetória de uma partícula fluida que passa pelo ponto
no instante
. Isso está dentro do assunto de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente no estudo das trajetórias de partículas em um fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade da partícula está relacionada à sua posição ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a trajetória de uma partícula fluida pode ser descrita por suas coordenadas
e
, que mostram onde a partícula está em cada instante de tempo
. Para encontrar essas funções, precisamos conhecer a campo de velocidade do fluido, que nos dá as componentes de velocidade nas direções
e
.
Passo 3
Suponhamos que o campo de velocidade seja dado pelas funções
e
, que representam as velocidades nas direções
e
, respectivamente. As equações diferenciais que descrevem a trajetória são:
Passo 4
Agora, para encontrar
e
, precisamos integrar essas equações diferenciais. Vamos integrar a primeira equação para encontrar
:
E a segunda equa�o para
:
onde
é a posição inicial da partícula no tempo
.
Passo 5
Sabemos que no instante
, a partícula está no ponto
. Então, temos as condições iniciais:
Passo 6
Com as integrais e as condições iniciais, agora podemos resolver as integrais para encontrar
e
. A solução vai depender das expressões específicas de
e
. Após resolver as integrais, teremos as funções que descrevem a trajetória da partícula.
Resposta
A equação da trajetória da partícula fluida que passa pelo ponto
no instante
é dada pelas funções
e
obtidas ao integrar o campo de velocidade do fluido com as condições iniciais
e
.