Determinar: a equação da trajetória da partícula fluida que passa pelo ponto (x0, y0)=(1,1) no instante t=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da trajetória de uma partícula fluida que passa pelo ponto no instante . Isso está dentro do assunto de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente no estudo das trajetórias de partículas em um fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade da partícula está relacionada à sua posição ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a trajetória de uma partícula fluida pode ser descrita por suas coordenadas e , que mostram onde a partícula está em cada instante de tempo . Para encontrar essas funções, precisamos conhecer a campo de velocidade do fluido, que nos dá as componentes de velocidade nas direções e .

Passo 3

Suponhamos que o campo de velocidade seja dado pelas funções dxdt = u(x,y,t) e dydt = v(x,y,t) , que representam as velocidades nas direções e , respectivamente. As equações diferenciais que descrevem a trajetória são:

Passo 4

Agora, para encontrar x(t) = x0 + integral0^t u(x(tau), y(tau), tau) , dtau e y(t) = y0 + integral0^t v(x(tau), y(tau), tau) , dtau , precisamos integrar essas equações diferenciais. Vamos integrar a primeira equação para encontrar :
E a segunda equa�o para :
onde é a posição inicial da partícula no tempo .

Passo 5

Sabemos que no instante x(0) = 1 , a partícula está no ponto y(0) = 1 . Então, temos as condições iniciais:

Passo 6

Com as integrais e as condições iniciais, agora podemos resolver as integrais para encontrar e . A solução vai depender das expressões específicas de e . Após resolver as integrais, teremos as funções que descrevem a trajetória da partícula.

Resposta

A equação da trajetória da partícula fluida que passa pelo ponto no instante é dada pelas funções e obtidas ao integrar o campo de velocidade do fluido com as condições iniciais e .

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