Obtenha expressões para G^R, H^R e S^R utilizando a equação do virial com três termos em volume, Eq. (3.40).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer obter as expressões para , e usando a equação do virial com três termos em volume, que está na Equação (3.40). Isso está dentro do conteúdo de Termodinâmica, especificamente tratando da equação de estado dos gases e como ela se relaciona com as funções termodinâmicas fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação do virial e utilizar algumas relações básicas da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação do virial com três termos. Ela é usada para descrever o comportamento de gases reais e pode ser escrita como:
P = RTVm (1 + B(T)Vm + C(T)Vm^2)
Aqui:
  • é a pressão,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura,
  • é o volume molar,
  • e são os coeficientes viriais que dependem da temperatura.
Essa equação ajusta a pressão de um gás real em função do volume molar, adicionando termos corretivos aos termos do gás ideal.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a função de Gibbs livre G = mu N . Sabemos que:
G = F + PV
Onde ( partial Gpartial P )T = Vm é o potencial químico e é o número de mols. Para gases, a Gibbs livre também pode ser relacionada à energia livre de Helmholtz pela relação:
Entretanto, para simplificar, vamos utilizar a relação termodinâmica que liga à equação de estado. A derivada de em relação à pressão a temperatura constante é:
Então, podemos integrar a equação do virial em relação à pressão para obter .

Passo 4

Vamos integrar a expressão para G^R = integral Vm , dP :
G^R = integral RTP (1 + B(T)Vm + C(T)Vm^2) dP
Substituindo a equação do virial na integral:
Como já está em termos de , precisamos rearranjar para integrar em relação a .

Passo 5

Rearranjando a equação do virial para expressar Vm = RTP (1 + B(T)Vm + C(T)Vm^2) em função de :
Para integração, assumimos que os termos e são pequenos em comparação com o volume molar, permitindo uma expansão em série.

Passo 6

Após integrar, obtemos a expressão para G^R = RT ln Vm + RT B(T)Vm + RT C(T)2 Vm^2 + constante :
Essa expressão representa a Gibbs livre ajustada pelos termos viriais de segundo e terceiro ordem.

Passo 7

Agora, para a entalpia H = U + PV , usamos a relação:
U = U^ideal + RT ( B(T) PRT + 2 C(T) (PRT)^2 )
Onde H^R = U^ideal + PV + RT B(T) PRT + 2 RT C(T) (PRT)^2 é a energia interna. A energia interna para a equação do virial inclui contribuições dos coeficientes viriais:
H^R = U^ideal + PV + B(T) P + 2 C(T) P^2RT
Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, para a entropia S = -( partial Gpartial T )P , usamos a relação termodinâmica:
S^R = -partialpartial T ( RT ln Vm + RT B(T)Vm + RT C(T)2 Vm^2 )
Usando a expressão de S^R = -R ln Vm - R B(T)Vm - R C(T)2 Vm^2 - RT partialpartial T ( B(T)Vm + C(T)2 Vm^2 ) que encontramos:
Calculando a derivada:

Resposta

As expressões obtidas utilizando a equação do virial com três termos em volume são:
G^R = RT ln Vm + RT B(T)Vm + RT C(T)2 Vm^2 + constante
H^R = U^ideal + PV + B(T) P + 2 C(T) P^2RT
S^R = -R ln Vm - R B(T)Vm - R C(T)2 Vm^2 - RT partialpartial T ( B(T)Vm + C(T)2 Vm^2 )
Essas expressões relacionam as funções termodinâmicas , e aos coeficientes viriais e , levando em consideração as correções de interações moleculares em gases reais.

Exercícios relacionados