Obtenha expressões para
e
utilizando a equação do virial com três termos em volume, Eq. (3.40).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer obter as expressões para
,
e
usando a equação do virial com três termos em volume, que está na Equação (3.40). Isso está dentro do conteúdo de Termodinâmica, especificamente tratando da equação de estado dos gases e como ela se relaciona com as funções termodinâmicas fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação do virial e utilizar algumas relações básicas da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação do virial com três termos. Ela é usada para descrever o comportamento de gases reais e pode ser escrita como:
Aqui:
-
é a pressão, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura, -
é o volume molar, -
e são os coeficientes viriais que dependem da temperatura.
Essa equação ajusta a pressão de um gás real em função do volume molar, adicionando termos corretivos aos termos do gás ideal.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a função de Gibbs livre
. Sabemos que:
Onde
é o potencial químico e
é o número de mols. Para gases, a Gibbs livre também pode ser relacionada à energia livre de Helmholtz
pela relação:
Entretanto, para simplificar, vamos utilizar a relação termodinâmica que liga
à equação de estado. A derivada de
em relação à pressão a temperatura constante é:
Então, podemos integrar a equação do virial em relação à pressão para obter
.
Passo 4
Vamos integrar a expressão para
:
Substituindo a equação do virial na integral:
Como
já está em termos de
, precisamos rearranjar para integrar em relação a
.
Passo 5
Rearranjando a equação do virial para expressar
em função de
:
Para integração, assumimos que os termos
e
são pequenos em comparação com o volume molar, permitindo uma expansão em série.
Passo 6
Após integrar, obtemos a expressão para
:
Essa expressão representa a Gibbs livre ajustada pelos termos viriais de segundo e terceiro ordem.
Passo 7
Agora, para a entalpia
, usamos a relação:
Onde
é a energia interna. A energia interna para a equação do virial inclui contribuições dos coeficientes viriais:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, para a entropia
, usamos a relação termodinâmica:
Usando a expressão de
que encontramos:
Calculando a derivada:
Resposta
As expressões obtidas utilizando a equação do virial com três termos em volume são:
Essas expressões relacionam as funções termodinâmicas
,
e
aos coeficientes viriais
e
, levando em consideração as correções de interações moleculares em gases reais.