Obtenha uma solução básica viável para o subconjunto V de R^5 definido pelas equações
l -x1+x2+2 x3+x4+2 x5=7 -x1+2 x2+3 x3+x4+x5=6 -x1+x2+x3+2 x4+x5=4
e pelas desigualdades x2 >= 0, x3 >= 0, x4 >= 0, x5 >= 0, com x1 livre, através da resolução de um PL, empregando o método Simplex.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema pede para encontrar uma solução básica viável para um conjunto de equações em R^5. Vamos usar o método Simplex, que é uma técnica de Programação Linear para resolver sistemas de equações e desigualdades com várias variáveis. Precisamos organizar as equações, lidar com a variável livre ( x1) e garantir que todas as variáveis satisfaçam as condições de não negatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que definem o subconjunto V:
-x1 + x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 7 -x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 6 -x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 4
Além disso, temos as desigualdades:
x2 >= 0, x3 >= 0, x4 >= 0, x5 >= 0
E a variável x1 é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real (positivo ou negativo).

Passo 3

Como o método Simplex trabalha melhor com variáveis não negativas, vamos transformar a variável livre x1 em duas variáveis não negativas. Fazemos isso definindo:
x1 = x1^+ - x1^-
onde
x1^+ >= 0 e x1^- >= 0
Isso nos ajuda a lidar com a variável livre dentro do método.

Passo 4

Substituindo x1 = x1^+ - x1^- nas equações, temos:
-(x1^+ - x1^-) + x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 7 -(x1^+ - x1^-) + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 6 -(x1^+ - x1^-) + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 4
Simplificando:
-x1^+ + x1^- + x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 7 -x1^+ + x1^- + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 6 -x1^+ + x1^- + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 4

Passo 5

Agora, vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada para aplicar o método Simplex:
cccccc|c x1^+ & x1^- & x2 & x3 & x4 & x5 & RHS -1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 7 -1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 6 -1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 4
Aqui, “RHS” significa Right-Hand Side (lado direito das equações).

Passo 6

O próximo passo é encontrar uma solução básica inicial viável. Uma solução básica define quais variáveis são básicas (não zero) e quais são não básicas (zero). Como temos 3 equações e 6 variáveis, vamos tentar definir algumas variáveis como básicas e outras como zero para começar.
Vamos supor que as variáveis básicas sejam x1^+, x1^- e x2, e definir x3 = x4 = x5 = 0.
Substituindo na matriz:
-x1^+ + x1^- + x2 = 7 -x1^+ + x1^- + 2x2 = 6 -x1^+ + x1^- + x2 = 4

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema:
  1. Subtraia a primeira equação da segunda:
(-x1^+ + x1^- + 2x2) - (-x1^+ + x1^- + x2) = 6 - 7
x2 = -1
Mas isso não é válido, já que x2 >= 0. Então, essa escolha de variáveis básicas não funciona.

Passo 8

Vamos tentar outra combinação. Escolheremos x1^+, x1^- e x3 como variáveis básicas, definindo x2 = x4 = x5 = 0.
Substituindo na matriz:
-x1^+ + x1^- + 2x3 = 7 -x1^+ + x1^- + 3x3 = 6 -x1^+ + x1^- + x3 = 4
Resolvendo:
  1. Subtraia a primeira equação da segunda:
( -x1^+ + x1^- + 3x3) - ( -x1^+ + x1^- + 2x3) = 6 - 7
x3 = -1
Novamente, inválido já que x3 >= 0.

Passo 9

Vamos tentar mais uma vez. Desta vez, vamos definir x1^+, x1^- e x4 como básicas, e x2 = x3 = x5 = 0.
Substituindo:
-x1^+ + x1^- + x4 = 7 -x1^+ + x1^- + x4 = 6 -x1^+ + x1^- + 2x4 = 4
Percebemos que as duas primeiras equações são inconsistentes (7 ≠ 6). Então, essa combinação também não funciona.

Passo 10

Vamos adotar uma abordagem diferente. Definiremos x1^+ = x1^- = 0 para simplificar e resolver o sistema com as outras variáveis:
x2 + 2x3 + x4 + 2x5 = 7 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 6 x2 + x3 + 2x4 + x5 = 4
Agora, vamos resolver esse sistema.

Passo 11

Usando eliminação de equações:
  1. Da primeira equação, isole x2:
x2 = 7 - 2x3 - x4 - 2x5
  1. Substitua x2 nas outras equações:
  • Segunda equação:
2(7 - 2x3 - x4 - 2x5) + 3x3 + x4 + x5 = 6
14 - 4x3 - 2x4 - 4x5 + 3x3 + x4 + x5 = 6
- x3 - x4 -3x5 = -8
x3 + x4 + 3x5 = 8
  • Terceira equação:
(7 - 2x3 - x4 - 2x5) + x3 + 2x4 + x5 = 4
7 -x3 +x4 -x5 = 4
- x3 + x4 - x5 = -3

Passo 12

Agora temos:
x3 + x4 + 3x5 = 8 - x3 + x4 - x5 = -3
Somando as duas equações:
2x4 + 2x5 = 5 implies x4 + x5 = 2.5
Isolando x4:
x4 = 2.5 - x5
Substituindo na segunda equação:
- x3 + (2.5 - x5) - x5 = -3
- x3 + 2.5 - 2x5 = -3
- x3 = -5.5 + 2x5
x3 = 5.5 - 2x5

Passo 13

Voltando à primeira equação:
x3 + x4 + 3x5 =8
Substituindo x3 e x4:
(5.5 - 2x5) + (2.5 - x5) + 3x5 =8
5.5 + 2.5 -2x5 -x5 +3x5 =8
8 =8
Isso confirma que nossas expressões estão corretas.

Passo 14

Agora, escolhemos um valor para x5 que satisfaça as condições de não negatividade.
Das equações:
x3 =5.5 - 2x5 >=0 implies x5 <=2.75
x4 =2.5 -x5 >=0 implies x5 <=2.5
x2 =7 - 2x3 - x4 -2x5 =7 -2(5.5 -2x5) - (2.5 -x5) -2x5 =7-11+4x5-2.5+x5-2x5= -6.5 +3x5 >=0 implies x5 >= 6.53 approx2.1667
Então, 2.1667 <= x5 <=2.5. Vamos escolher x5=2.25.

Passo 15

Calculando os valores:
x5=2.25
x3 =5.5 -2(2.25)=5.5 -4.5=1
x4=2.5 -2.25=0.25
x2= -6.5 +3(2.25)= -6.5+6.75=0.25
Então, temos:
x1^+=0, x1^-=0, x2=0.25, x3=1, x4=0.25, x5=2.25

Resposta

Uma solução básica viável para o subconjunto V é:
x1 =0, x2=0.25, x3=1, x4=0.25, x5=2.25
Essa solução satisfaz todas as equações e desigualdades do problema.

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