Obtenha uma solução básica viável para o subconjunto de definido pelas equações
e pelas desigualdades , com livre, através da resolução de um PL, empregando o método Simplex.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema pede para encontrar uma solução básica viável para um conjunto de equações em . Vamos usar o método Simplex, que é uma técnica de Programação Linear para resolver sistemas de equações e desigualdades com várias variáveis. Precisamos organizar as equações, lidar com a variável livre () e garantir que todas as variáveis satisfaçam as condições de não negatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que definem o subconjunto :
Além disso, temos as desigualdades:
E a variável é livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real (positivo ou negativo).
Passo 3
Como o método Simplex trabalha melhor com variáveis não negativas, vamos transformar a variável livre em duas variáveis não negativas. Fazemos isso definindo:
onde
Isso nos ajuda a lidar com a variável livre dentro do método.
Passo 4
Substituindo nas equações, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos organizar essas equações em uma matriz aumentada para aplicar o método Simplex:
Aqui, “RHS” significa Right-Hand Side (lado direito das equações).
Passo 6
O próximo passo é encontrar uma solução básica inicial viável. Uma solução básica define quais variáveis são básicas (não zero) e quais são não básicas (zero). Como temos 3 equações e 6 variáveis, vamos tentar definir algumas variáveis como básicas e outras como zero para começar.
Vamos supor que as variáveis básicas sejam , e , e definir .
Substituindo na matriz:
Passo 7
Agora, vamos resolver esse sistema:
Subtraia a primeira equação da segunda:
Mas isso não é válido, já que . Então, essa escolha de variáveis básicas não funciona.
Passo 8
Vamos tentar outra combinação. Escolheremos , e como variáveis básicas, definindo .
Substituindo na matriz:
Resolvendo:
Subtraia a primeira equação da segunda:
Novamente, inválido já que .
Passo 9
Vamos tentar mais uma vez. Desta vez, vamos definir , e como básicas, e .
Substituindo:
Percebemos que as duas primeiras equações são inconsistentes (7 ≠ 6). Então, essa combinação também não funciona.
Passo 10
Vamos adotar uma abordagem diferente. Definiremos para simplificar e resolver o sistema com as outras variáveis:
Agora, vamos resolver esse sistema.
Passo 11
Usando eliminação de equações:
Da primeira equação, isole :
Substitua nas outras equações:
Segunda equação:
Terceira equação:
Passo 12
Agora temos:
Somando as duas equações:
Isolando :
Substituindo na segunda equação:
Passo 13
Voltando à primeira equação:
Substituindo e :
Isso confirma que nossas expressões estão corretas.
Passo 14
Agora, escolhemos um valor para que satisfaça as condições de não negatividade.
Das equações:
Então, . Vamos escolher .
Passo 15
Calculando os valores:
Então, temos:
Resposta
Uma solução básica viável para o subconjunto é:
Essa solução satisfaz todas as equações e desigualdades do problema.