Seja
uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a reta focal é
. Sabendo que
passa pelo ponto
determine a equação da elipse.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos uma elipse com centro na origem, um vértice em
e que passa pelo ponto
. Para resolver, precisamos usar a equação geral da elipse centrada na origem e os dados fornecidos para encontrar seus parâmetros.
Passo 2
Sabendo que o vértice está no ponto
, isso indica que o eixo maior da elipse está na direção do eixo y. A equação geral da elipse nesse caso é:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Como o vértice está em
, temos que
. Substituindo esse valor na equação da elipse, ficamos com:
Passo 4
A elipse passa pelo ponto
. Vamos substituir essas coordenadas na equação da elipse para encontrar o valor de
:
Passo 5
Vamos calcular os quadrados das coordenadas:
Simplificando:
Passo 6
Multiplicando todos os termos por 25 para eliminar os denominadores:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Passo 7
Resolvendo para
:
Portanto,
.
Resposta
A equação da elipse é:
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