Seja uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a reta focal é . Sabendo que passa pelo ponto determine a equação da elipse.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma elipse com centro na origem, um vértice em e que passa pelo ponto . Para resolver, precisamos usar a equação geral da elipse centrada na origem e os dados fornecidos para encontrar seus parâmetros.

Passo 2

Sabendo que o vértice está no ponto , isso indica que o eixo maior da elipse está na direção do eixo y. A equação geral da elipse nesse caso é:
Aqui, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Como o vértice está em , temos que . Substituindo esse valor na equação da elipse, ficamos com:

Passo 4

A elipse passa pelo ponto . Vamos substituir essas coordenadas na equação da elipse para encontrar o valor de :

Passo 5

Vamos calcular os quadrados das coordenadas:
Simplificando:

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 25 para eliminar os denominadores:
Subtraindo 5 de ambos os lados:

Passo 7

Resolvendo para :
Portanto, .

Resposta

A equação da elipse é:

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