Seja E uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a reta focal é (0,5). Sabendo que E passa pelo ponto (6 raiz55, raiz5) determine a equação da elipse.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos uma elipse com centro na origem, um vértice em (0,5) e que passa pelo ponto (6 raiz55, raiz5). Para resolver, precisamos usar a equação geral da elipse centrada na origem e os dados fornecidos para encontrar seus parâmetros.

Passo 2

Sabendo que o vértice está no ponto (0,5), isso indica que o eixo maior da elipse está na direção do eixo y. A equação geral da elipse nesse caso é:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Aqui, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 3

Como o vértice está em (0,5), temos que a = 5. Substituindo esse valor na equação da elipse, ficamos com:
x^2b^2 + y^225 = 1

Passo 4

A elipse passa pelo ponto (6 raiz55, raiz5). Vamos substituir essas coordenadas na equação da elipse para encontrar o valor de b:
(6 raiz55)^2b^2 + (raiz5)^225 = 1

Passo 5

Vamos calcular os quadrados das coordenadas:
36 times 525b^2 + 525 = 1
Simplificando:
18025 b^2 + 15 = 1

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 25 para eliminar os denominadores:
180b^2 + 5 = 25
Subtraindo 5 de ambos os lados:
180b^2 = 20

Passo 7

Resolvendo para b^2:
b^2 = 18020 = 9
Portanto, b = 3.

Resposta

A equação da elipse é:
x^29 + y^225 = 1

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