Determine uma base para o subespaço de , subespaço das matrizes simétricas de ordem .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que encontrar uma base para o subespaço , que consiste em todas as matrizes simétricas com entradas reais. Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais e de como identificar bases para eles. Vamos precisar lembrar o que é uma matriz simétrica e como construir uma base para um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . Para uma matriz , isso significa que os elementos fora da diagonal principal são iguais. Então, uma matriz geral simétrica pode ser escrita assim:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, vamos pensar no espaço das matrizes simétricas . Cada matriz nesse espaço é determinada pelos três parâmetros . Portanto, podemos representar qualquer matriz em como uma combinação linear desses parâmetros:

Passo 4

Para encontrar uma base para , precisamos identificar matrizes que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço . Pelas matrizes que escrevemos acima, podemos identificar três matrizes que cumprem esses requisitos:
Essas três matrizes são linearmente independentes porque nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das outras. Além disso, qualquer matriz simétrica pode ser expressa como uma combinação dessas três.

Resposta

Uma base para é:

Exercícios relacionados

Obtenha uma solução básica viável para o subconjunto de definido pelas equações
e pelas desigualdades , com livre, através da resolução de um PL, empregando o método Simplex.
Seja uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a reta focal é . Sabendo que passa pelo ponto determine a equação da elipse.
Sejam e , tais que posto e . Defina . Considere o PL
1
Mostre que se o valor ótimo do PL acima é nulo então possui uma solução básica viável. O quê podemos concluir se o valor ótimo for não-nulo? Justifique sua resposta.
Determine duas equações cartesianas distintas do plano que passa pelo ponto e é perpendicular ao vetor . Indique um ponto , distinto de , pertencente a e outro ponto que não está em .