Obtenha a transformada de Laplace das seguintes funções:
.
Passo 1
No enunciado, precisamos encontrar a transformada de Laplace da função
. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que converte funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas de Laplace de algumas funções básicas: a delta de Dirac
, a função degrau unitário
e a função exponencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace da delta de Dirac é:
A delta de Dirac é uma função especial que é zero em todos os pontos exceto em
, onde tem uma “impulso” infinito, mas sua integral total é igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transformada de Laplace da função degrau unitário
:
A função degrau
é igual a 1 para
e 0 para
. Sua transformada de Laplace é obtida integrando
de 0 até infinito.
Passo 4
Para a função
, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções exponenciais:
Onde
é a transformada de
. No nosso caso,
e
, cuja transformada já sabemos que é
. Portanto:
Passo 5
Agora, combinamos todas as partes para obter a transformada de Laplace de
:
Substituindo as transformadas que já calculamos:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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