Obtenha a transformada de Laplace das seguintes funções:
.

Passo 1

No enunciado, precisamos encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que converte funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas de Laplace de algumas funções básicas: a delta de Dirac , a função degrau unitário e a função exponencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace da delta de Dirac é:
A delta de Dirac é uma função especial que é zero em todos os pontos exceto em , onde tem uma “impulso” infinito, mas sua integral total é igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos considerar a transformada de Laplace da função degrau unitário :
A função degrau é igual a 1 para e 0 para . Sua transformada de Laplace é obtida integrando de 0 até infinito.

Passo 4

Para a função , usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções exponenciais:
Onde é a transformada de . No nosso caso, e , cuja transformada já sabemos que é . Portanto:

Passo 5

Agora, combinamos todas as partes para obter a transformada de Laplace de :
Substituindo as transformadas que já calculamos:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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