Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções, demonstrando os cálculos para obtê-las.
sen omega t u(t).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função sen(omega t) u(t). A matéria que isso envolve é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e sistemas dinâmicos. Pra resolver isso, a gente vai precisar conhecer a definição da Transformada de Laplace e a transformada da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Aqui, f(t) é a função que estamos transformando, e s é uma variável complexa.

Passo 3

No nosso caso, a função f(t) é sen(omega t) u(t). Como u(t) é a função degrau de Heaviside, ela vale 1 para t >= 0. Então, podemos simplificar para:
Lsen(omega t) = integral0^infty e^-st sen(omega t) , dt

Passo 4

Sabemos que a transformada de Laplace da função sen(omega t) já tem uma fórmula conhecida. A fórmula é:
Lsen(omega t) = omegas^2 + omega^2
Essa fórmula é derivada integrando a função seno multiplicada por e^-st.

Passo 5

Portanto, aplicando essa fórmula diretamente, temos:
Lsen(omega t) u(t) = omegas^2 + omega^2

Resposta

A transformada de Laplace de sen(omega t) u(t) é dfracomegas^2 + omega^2.

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