Obtenha o vetor velocidade para qualquer instante no M.C.U. partindo das expressões x(t)=R cos (wt) ; y(t)=R sen(w t), onde R é o raio do círculo e w o módulo do vetor velocidade angular. Obtenha tambem o módulo dessa velocidade. Mostre que ela é tangente à trajetoria.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Movimento Circular Uniforme (M.C.U.), onde a posição de um objeto em qualquer instante é dada pelas funções e . Aqui, é o raio do círculo e é a velocidade angular. Precisamos encontrar o vetor velocidade , o módulo dessa velocidade e mostrar que ela é tangente à trajetória.

Passo 2

Para encontrar o vetor velocidade, precisamos derivar as funções de posição em relação ao tempo. A velocidade é a taxa de variação da posição.
Derivando vx(t) = dx(t)dt = -R omega sin(omega t) em relação a vy(t) = dy(t)dt = R omega cos(omega t) :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, juntando as componentes v(t) = ( -R omega sin(omega t) ) i + ( R omega cos(omega t) ) j e , podemos escrever o vetor velocidade completo:
Onde e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 4

Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|v(t)| = raizvx(t)^2 + vy(t)^2
Substituindo os valores:
|v(t)| = raiz(-R omega sin(omega t))^2 + (R omega cos(omega t))^2
|v(t)| = raizR^2 omega^2 sin^2(omega t) + R^2 omega^2 cos^2(omega t)
Fatorando |v(t)| = R omega raizsin^2(omega t) + cos^2(omega t) :
|v(t)| = R omega
Sabemos que , então:

Passo 5

Para mostrar que a velocidade é tangente à trajetória, observamos que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição no instante r(t) = R cos(omega t) i + R sin(omega t) j . O vetor posição é:
r(t) cdot v(t) = R cos(omega t) cdot (-R omega sin(omega t)) + R sin(omega t) cdot R omega cos(omega t)
O produto escalar entre r(t) cdot v(t) = -R^2 omega cos(omega t) sin(omega t) + R^2 omega sin(omega t) cos(omega t) = 0 e deve ser zero se forem perpendiculares:
Como o produto escalar é zero, é perpendicular a , ou seja, tangente à trajetória.

Resposta

O vetor velocidade é , o módulo da velocidade é e a velocidade é tangente à trajetória.

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