Obtenha o vetor velocidade para qualquer instante no M.C.U. partindo das expressões
(wt) ;
, onde
é o raio do círculo e w o módulo do vetor velocidade angular. Obtenha tambem o módulo dessa velocidade. Mostre que ela é tangente à trajetoria.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Movimento Circular Uniforme (M.C.U.), onde a posição de um objeto em qualquer instante é dada pelas funções
e
. Aqui,
é o raio do círculo e
é a velocidade angular. Precisamos encontrar o vetor velocidade
, o módulo dessa velocidade e mostrar que ela é tangente à trajetória.
Passo 2
Para encontrar o vetor velocidade, precisamos derivar as funções de posição em relação ao tempo. A velocidade é a taxa de variação da posição.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, juntando as componentes
e
, podemos escrever o vetor velocidade completo:
Onde
e
são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 4
Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
Substituindo os valores:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Para mostrar que a velocidade é tangente à trajetória, observamos que o vetor velocidade é perpendicular ao vetor posição no instante
. O vetor posição é:
O produto escalar entre
e
deve ser zero se forem perpendiculares:
Como o produto escalar é zero,
é perpendicular a
, ou seja, tangente à trajetória.
Resposta
O vetor velocidade é
, o módulo da velocidade é
e a velocidade é tangente à trajetória.
Exercícios relacionados
(a) Determine a soma de vetores
na rep. analítica, para
e
. Determine (b) o módulo e © a orientação de
.
Determine o produto interno entre eles. Determine o produto externo, e seu módulo.
Determine o produto interno entre eles. Determine o produto externo, e seu módulo.
Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo ( em segundos) é dada por
. Escreva expressões analíticas para (a) a velocidade e (b) a aceleração em função do tempo.
Leia um número real e imprima o resultado do quadrado desse número.
Peça ao usuário para digitar três valores inteiros e imprima a soma deles.