Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo ( em segundos) é dada por
. Escreva expressões analíticas para (a) a velocidade e (b) a aceleração em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, dada por
. O objetivo é encontrar duas coisas:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, porque velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar a velocidade.
A velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
. Então, matematicamente:
Vamos derivar cada componente de
:
- A componente
é uma constante (1), então a derivada dela é 0. - A componente
: a derivada de em relação a é . - A componente
: a derivada de em relação a é 1.
Então, juntando tudo:
Podemos simplificar para:
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): encontrar a aceleração.
A aceleração
é a derivada da velocidade
em relação ao tempo
. Ou seja:
Vamos derivar cada componente de
:
- A componente
: a derivada de em relação a é 8. - A componente
é uma constante, então a derivada dela é 0.
Então, juntando tudo:
Podemos simplificar para:
Resposta
(a) A velocidade em função do tempo é
.
(b) A aceleração em função do tempo é
.
Exercícios relacionados
é percorrido por uma corrente
. Determine uma expressão para o campo magnético
, dentro e fora do fio, considerando que (a) a corrente está distribuída uniformemente sobre a superfície externa do fio, (b) a corrente está distribuída por todo o volume do fio com densidade de corrente
constante, © a corrente está distribuída por todo o volume do fio de forma que a densidade de corrente
é proporcional à distância até o eixo do fio.
J1 - A tensão de uma fonte de corrente alternada é dada por
onde a tensão é dada em volts e o tempo
em segundos. A fonte é conectada a um indutor de
. Determine:
(a) a frequência da fonte,
(b) a voltagem rms no indutor,
© reatância indutiva do circuito, (d) a corrente rms no indutor e (e) a corrente máxima no indutor.
(a) a frequência da fonte,
(b) a voltagem rms no indutor,
©
(a) Determine a soma de vetores
na rep. analítica, para
e
. Determine (b) o módulo e © a orientação de
.
Determine o produto interno entre eles. Determine o produto externo, e seu módulo.
Determine o produto interno entre eles. Determine o produto externo, e seu módulo.
Obtenha o vetor velocidade para qualquer instante no M.C.U. partindo das expressões
(wt) ;
, onde
é o raio do círculo e w o módulo do vetor velocidade angular. Obtenha tambem o módulo dessa velocidade. Mostre que ela é tangente à trajetoria.