Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo ( em segundos) é dada por
. Escreva expressões analíticas para (a) a velocidade e (b) a aceleração em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, dada por
. O objetivo é encontrar duas coisas:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, porque velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar a velocidade.
A velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
. Então, matematicamente:
Vamos derivar cada componente de
:
- A componente
é uma constante (1), então a derivada dela é 0. - A componente
: a derivada de em relação a é . - A componente
: a derivada de em relação a é 1.
Então, juntando tudo:
Podemos simplificar para:
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): encontrar a aceleração.
A aceleração
é a derivada da velocidade
em relação ao tempo
. Ou seja:
Vamos derivar cada componente de
:
- A componente
: a derivada de em relação a é 8. - A componente
é uma constante, então a derivada dela é 0.
Então, juntando tudo:
Podemos simplificar para:
Resposta
(a) A velocidade em função do tempo é
.
(b) A aceleração em função do tempo é
.