Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo ( em segundos) é dada por r=i+ 4 t^2 j+t k. Escreva expressões analíticas para (a) a velocidade e (b) a aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, dada por r = i + 4 t^2 j + t k. O objetivo é encontrar duas coisas:
(a) A velocidade da partícula em função do tempo.
(b) A aceleração da partícula em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, porque velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar a velocidade.
A velocidade v é a derivada da posição r em relação ao tempo t. Então, matematicamente:
v = drdt
Vamos derivar cada componente de r:
  • A componente i é uma constante (1), então a derivada dela é 0.
  • A componente 4 t^2 j: a derivada de 4 t^2 em relação a t é 8t.
  • A componente t k: a derivada de t em relação a t é 1.
Então, juntando tudo:
v = 0,i + 8t,j + 1,k
Podemos simplificar para:
v = 8t,j + k

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): encontrar a aceleração.
A aceleração a é a derivada da velocidade v em relação ao tempo t. Ou seja:
a = dvdt
Vamos derivar cada componente de v:
  • A componente 8t,j: a derivada de 8t em relação a t é 8.
  • A componente k é uma constante, então a derivada dela é 0.
Então, juntando tudo:
a = 8,j + 0,k
Podemos simplificar para:
a = 8,j

Resposta

(a) A velocidade em função do tempo é v = 8t,j + k.
(b) A aceleração em função do tempo é a = 8,j.

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