Obter o intervalo de 95 % de confiança para a proporção de insetos resistentes a um fungo patogênico. Em uma amostra de n=500 insetos criados em laboratório, apenas 6 não morreram em consequência da ação do fungo a que foram expostos por um período de 5 dias.

Passo 1

Vamos resolver um problema de estatística onde precisamos encontrar o intervalo de confiança de 95% para a proporção de insetos resistentes a um fungo patogênico. Para isso, vamos usar conceitos de intervalo de confiança para proporções. Precisamos saber o tamanho da amostra, o número de sucessos (insetos resistentes) e entender como calcular a proporção e o erro padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra (n): 500 insetos
  • Número de sucessos (x): 6 insetos resistentes

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção amostral ($ \hat{p} $), que é a fração de insetos resistentes na amostra. Isso é feito dividindo o número de sucessos pelo tamanho da amostra:
p
Então, a proporção amostral $ \hat{p} $ é 0,012, ou 1,2%.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o erro padrão da proporção, que nos ajuda a medir a variabilidade da nossa estimativa. A fórmula para o erro padrão ($ SE $) é:
SE
Substituindo os valores:
SE = raizp(1 - p)n
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,00487.

Passo 5

Para um intervalo de confiança de 95%, usamos um valor crítico $ z $ de aproximadamente 1,96 (esse valor vem da distribuição normal padrão e corresponde a 95% de confiança). Isso significa que queremos que nosso intervalo capture a verdadeira proporção de insetos resistentes com 95% de certeza.

Passo 6

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o erro padrão pelo valor crítico $ z $:
z
A margem de erro é aproximadamente 0,00955.

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral $ \hat{p} $:
p
p - Mar>=m de Erro = 0,012 - 0,00955 = 0,00245
Então, o intervalo de confiança é de 0,00245 a 0,02155.

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção de insetos resistentes é aproximadamente de 0,245% a 2,155%.

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