Obter o intervalo de
de confiança para a proporção de insetos resistentes a um fungo patogênico. Em uma amostra de
insetos criados em laboratório, apenas 6 não morreram em consequência da ação do fungo a que foram expostos por um período de 5 dias.
Passo 1
Vamos resolver um problema de estatística onde precisamos encontrar o intervalo de confiança de 95% para a proporção de insetos resistentes a um fungo patogênico. Para isso, vamos usar conceitos de intervalo de confiança para proporções. Precisamos saber o tamanho da amostra, o número de sucessos (insetos resistentes) e entender como calcular a proporção e o erro padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Tamanho da amostra (n): 500 insetos
- Número de sucessos (x): 6 insetos resistentes
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção amostral ($ \hat{p} $), que é a fração de insetos resistentes na amostra. Isso é feito dividindo o número de sucessos pelo tamanho da amostra:
Então, a proporção amostral $ \hat{p} $ é 0,012, ou 1,2%.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o erro padrão da proporção, que nos ajuda a medir a variabilidade da nossa estimativa. A fórmula para o erro padrão ($ SE $) é:
Substituindo os valores:
Então, o erro padrão é aproximadamente 0,00487.
Passo 5
Para um intervalo de confiança de 95%, usamos um valor crítico $ z $ de aproximadamente 1,96 (esse valor vem da distribuição normal padrão e corresponde a 95% de confiança). Isso significa que queremos que nosso intervalo capture a verdadeira proporção de insetos resistentes com 95% de certeza.
Passo 6
Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o erro padrão pelo valor crítico $ z $:
A margem de erro é aproximadamente 0,00955.
Passo 7
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção amostral $ \hat{p} $:
Então, o intervalo de confiança é de 0,00245 a 0,02155.
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a proporção de insetos resistentes é aproximadamente de 0,245% a 2,155%.