Numa oficina de consertos de aparelhos eletrônicos, um técnico dedica-se a consertar placas de circuito impresso, substituindo elementos defeituosos (resistores, circuitos integrados etc) por novos. 0 tempo necessário ao conserto de cada placa compõe-se de três partes. Uma parte corresponde às etapas de preparação, reunião das peças necessárias, limpeza etc, e pode considerar-se constante para todas as placas. Outra parte corresponde à substituição propriamente dita dos elementos e pode ser considerada diretamente proporcional à quantidade de elementos a serem trocados. Por fim, há uma parcela não previsível devida às diferenças entre os circuitos das placas, facilidade de acesso aos elementos, perdas de tempo, erros de execução etc, que pode ser descrita por uma variável aleatória com distribuição normal cuja variância independe da quantidade de elementos a trocar na placa.
Os tempos reais gastos com os consertos de um conjunto de placas com quantidades predeterminadas de elementos a trocar estão a seguir.
Quantidade de elementos
2
4
5
7
8
10
12
13
16
17
Tempo de conserto (minutos)
23
20
27
53
50
55
56
70
83
83
Construa intervalos de
de confiança para:
i) o coeficiente angular, e
ii) o tempo médio de conserto de placas com 8 elementos defeituosos.
Os tempos reais gastos com os consertos de um conjunto de placas com quantidades predeterminadas de elementos a trocar estão a seguir.
Quantidade de elementos | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 | 12 | 13 | 16 | 17 |
Tempo de conserto (minutos) | 23 | 20 | 27 | 53 | 50 | 55 | 56 | 70 | 83 | 83 |
i) o coeficiente angular, e
ii) o tempo médio de conserto de placas com 8 elementos defeituosos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de estatística, especificamente de regressão linear simples. A gente tem dados sobre o número de elementos defeituosos em placas de circuito e o tempo que o técnico leva para consertá-las. Nosso objetivo é construir intervalos de confiança de 90% para:
i) O coeficiente angular da reta de regressão.
ii) O tempo médio de conserto para placas com 8 elementos defeituosos.
ii) O tempo médio de conserto para placas com 8 elementos defeituosos.
Vamos precisar calcular média, variância, desvios, e usar fórmulas de regressão e intervalos de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados:
Quantidade de elementos (X): 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 17
Tempo de conserto (Y): 23, 20, 27, 53, 50, 55, 56, 70, 83, 83
Tempo de conserto (Y): 23, 20, 27, 53, 50, 55, 56, 70, 83, 83
Vamos calcular as médias de X e Y.
Média de X:
Média de Y:
Passo 3
Agora, vamos calcular os componentes necessários para encontrar o coeficiente angular (b1):
Vamos calcular cada termo:
X_i | Y_i | X_i - 9.4 | Y_i - 54 | (X_i - 9.4)(Y_i - 54) | (X_i - 9.4)^2 |
---|---|---|---|---|---|
2 | 23 | -7.4 | -31 | 229.4 | 54.76 |
4 | 20 | -5.4 | -34 | 183.6 | 29.16 |
5 | 27 | -4.4 | -27 | 118.8 | 19.36 |
7 | 53 | -2.4 | -1 | 2.4 | 5.76 |
8 | 50 | -1.4 | -4 | 5.6 | 1.96 |
10 | 55 | 0.6 | 1 | 0.6 | 0.36 |
12 | 56 | 2.6 | 2 | 5.2 | 6.76 |
13 | 70 | 3.6 | 16 | 57.6 | 12.96 |
16 | 83 | 6.6 | 29 | 191.4 | 43.56 |
17 | 83 | 7.6 | 29 | 220.4 | 57.76 |
Agora, somamos as colunas de $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $:
Passo 4
Com $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $, podemos calcular o coeficiente angular $ b_1 $:
Isso significa que, em média, para cada elemento adicional defeituoso, o tempo de conserto aumenta cerca de 4,82 minutos.
Passo 5
Agora, vamos calcular o coeficiente linear $ b_0 $:
Então, a equação da reta de regressão fica:
Passo 6
Para construir o intervalo de confiança para o coeficiente angular $ b_1 $, precisamos do erro padrão de $ b_1 $. Primeiro, calculamos os resíduos e a soma dos quadrados dos resíduos (SSR).
Vamos calcular cada $ \widehat{Y_i} $:
Calculando para cada X:
X_i | Y_i |
|
Resíduo $ Y_i - \widehat{Y_i} $ |
---|---|---|---|
2 | 23 | 8,732 + 4,82*2 = 18,372 | 23 - 18,372 = 4,628 |
4 | 20 | 8,732 + 4,82*4 = 27,612 | 20 - 27,612 = -7,612 |
5 | 27 | 8,732 + 4,82*5 = 32,432 | 27 - 32,432 = -5,432 |
7 | 53 | 8,732 + 4,82*7 = 42,286 | 53 - 42,286 = 10,714 |
8 | 50 | 8,732 + 4,82*8 = 47,102 | 50 - 47,102 = 2,898 |
10 | 55 | 8,732 + 4,82*10 = 56,932 | 55 - 56,932 = -1,932 |
12 | 56 | 8,732 + 4,82*12 = 66,772 | 56 - 66,772 = -10,772 |
13 | 70 | 8,732 + 4,82*13 = 71,594 | 70 - 71,594 = -1,594 |
16 | 83 | 8,732 + 4,82*16 = 86,204 | 83 - 86,204 = -3,204 |
17 | 83 | 8,732 + 4,82*17 = 91,026 | 83 - 91,026 = -8,026 |
Agora, calculamos SSR:
Calculando:
Passo 7
Agora, calculamos o erro padrão da estimativa $ s $:
Em seguida, o erro padrão de $ b_1 $:
Passo 8
Para o intervalo de confiança de 90% para $ b_1 $, usamos a distribuição t de Student com $ n - 2 = 8 $ graus de liberdade. O valor t crítico para 90% é aproximadamente 1,860.
Então:
Passo 9
Agora, para o intervalo de confiança do tempo médio de conserto para placas com 8 elementos defeituosos, usamos a fórmula:
Onde:
O erro padrão de $ \widehat{Y} $:
Então:
Resposta
i) O intervalo de confiança de 90% para o coeficiente angular é aproximadamente [3,924 ; 5,716]
ii) O intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de conserto de placas com 8 elementos defeituosos é aproximadamente [42,921 ; 51,663] minutos.
ii) O intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de conserto de placas com 8 elementos defeituosos é aproximadamente [42,921 ; 51,663] minutos.