Numa oficina de consertos de aparelhos eletrônicos, um técnico dedica-se a consertar placas de circuito impresso, substituindo elementos defeituosos (resistores, circuitos integrados etc) por novos. 0 tempo necessário ao conserto de cada placa compõe-se de três partes. Uma parte corresponde às etapas de preparação, reunião das peças necessárias, limpeza etc, e pode considerar-se constante para todas as placas. Outra parte corresponde à substituição propriamente dita dos elementos e pode ser considerada diretamente proporcional à quantidade de elementos a serem trocados. Por fim, há uma parcela não previsível devida às diferenças entre os circuitos das placas, facilidade de acesso aos elementos, perdas de tempo, erros de execução etc, que pode ser descrita por uma variável aleatória com distribuição normal cuja variância independe da quantidade de elementos a trocar na placa.
Os tempos reais gastos com os consertos de um conjunto de placas com quantidades predeterminadas de elementos a trocar estão a seguir.
Quantidade de elementos 2 4 5 7 8 10 12 13 16 17
Tempo de conserto (minutos) 23 20 27 53 50 55 56 70 83 83
Construa intervalos de |l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r| hline Quantidade de e<=mentos & 2 & 4 & 5 & 7 & 8 & 10 & 12 & 13 & 16 & 17 hline Tempo de conserto (minutos) & 23 & 20 & 27 & 53 & 50 & 55 & 56 & 70 & 83 & 83 hline de confiança para:
i) o coeficiente angular, e
ii) o tempo médio de conserto de placas com 8 elementos defeituosos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de estatística, especificamente de regressão linear simples. A gente tem dados sobre o número de elementos defeituosos em placas de circuito e o tempo que o técnico leva para consertá-las. Nosso objetivo é construir intervalos de confiança de 90% para:
i) O coeficiente angular da reta de regressão.
ii) O tempo médio de conserto para placas com 8 elementos defeituosos.
Vamos precisar calcular média, variância, desvios, e usar fórmulas de regressão e intervalos de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados:
Quantidade de elementos (X): 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 17
Tempo de conserto (Y): 23, 20, 27, 53, 50, 55, 56, 70, 83, 83
Vamos calcular as médias de X e Y.
Média de X:
X = 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 12 + 13 + 16 + 1710 = 9410 = 9,4
Média de Y:
Y = 23 + 20 + 27 + 53 + 50 + 55 + 56 + 70 + 83 + 8310 = 54010 = 54

Passo 3

Agora, vamos calcular os componentes necessários para encontrar o coeficiente angular (b1):
Sxy = sum (Xi - X)(Yi - Y)
Sxx = sum (Xi - X)^2
Vamos calcular cada termo:
X_i Y_i X_i - 9.4 Y_i - 54 (X_i - 9.4)(Y_i - 54) (X_i - 9.4)^2
2 23 -7.4 -31 229.4 54.76
4 20 -5.4 -34 183.6 29.16
5 27 -4.4 -27 118.8 19.36
7 53 -2.4 -1 2.4 5.76
8 50 -1.4 -4 5.6 1.96
10 55 0.6 1 0.6 0.36
12 56 2.6 2 5.2 6.76
13 70 3.6 16 57.6 12.96
16 83 6.6 29 191.4 43.56
17 83 7.6 29 220.4 57.76
Agora, somamos as colunas de $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $:
Sxy
Sxx

Passo 4

Com $ S_{xy} $ e $ S_{xx} $, podemos calcular o coeficiente angular $ b_1 $:
Sxy
Isso significa que, em média, para cada elemento adicional defeituoso, o tempo de conserto aumenta cerca de 4,82 minutos.

Passo 5

Agora, vamos calcular o coeficiente linear $ b_0 $:
b0
Então, a equação da reta de regressão fica:
b0 = Y - b1 cdot X = 54 - 4,82 cdot 9,4 approx 54 - 45,268 = 8,732

Passo 6

Para construir o intervalo de confiança para o coeficiente angular $ b_1 $, precisamos do erro padrão de $ b_1 $. Primeiro, calculamos os resíduos e a soma dos quadrados dos resíduos (SSR).
b1 í
Vamos calcular cada $ \widehat{Y_i} $:
b1
Calculando para cada X:
X_i Y_i Resíduos = Yi - widehatYi Resíduo $ Y_i - \widehat{Y_i} $
2 23 8,732 + 4,82*2 = 18,372 23 - 18,372 = 4,628
4 20 8,732 + 4,82*4 = 27,612 20 - 27,612 = -7,612
5 27 8,732 + 4,82*5 = 32,432 27 - 32,432 = -5,432
7 53 8,732 + 4,82*7 = 42,286 53 - 42,286 = 10,714
8 50 8,732 + 4,82*8 = 47,102 50 - 47,102 = 2,898
10 55 8,732 + 4,82*10 = 56,932 55 - 56,932 = -1,932
12 56 8,732 + 4,82*12 = 66,772 56 - 66,772 = -10,772
13 70 8,732 + 4,82*13 = 71,594 70 - 71,594 = -1,594
16 83 8,732 + 4,82*16 = 86,204 83 - 86,204 = -3,204
17 83 8,732 + 4,82*17 = 91,026 83 - 91,026 = -8,026
Agora, calculamos SSR:
widehatYi í
Calculando:
widehatYi = 8,732 + 4,82Xi

Passo 7

Agora, calculamos o erro padrão da estimativa $ s $:
s
Em seguida, o erro padrão de $ b_1 $:
s = raizSSRn - 2 = raiz429,1310 - 2 = raiz429,138 approx raiz53,641 approx 7,33

Passo 8

Para o intervalo de confiança de 90% para $ b_1 $, usamos a distribuição t de Student com $ n - 2 = 8 $ graus de liberdade. O valor t crítico para 90% é aproximadamente 1,860.
Então:
b1
n - 2 = 8

Passo 9

Agora, para o intervalo de confiança do tempo médio de conserto para placas com 8 elementos defeituosos, usamos a fórmula:
IC = widehatY pm t cdot SEwidehatY
Onde:
widehatY = 8,732 + 4,82 cdot 8 = 8,732 + 38,56 = 47,292
O erro padrão de $ \widehat{Y} $:
widehatY
Então:
SEwidehatY = s cdot raiz1n + (X0 - X)^2Sxx = 7,33 cdot raiz110 + (8 - 9,4)^2231,4 = 7,33 cdot raiz0,1 + 2,56231,4 approx 7,33 cdot raiz0,1 + 0,011 approx 7,33 cdot 0,321 approx 2,35

Resposta

i) O intervalo de confiança de 90% para o coeficiente angular é aproximadamente [3,924 ; 5,716]
ii) O intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de conserto de placas com 8 elementos defeituosos é aproximadamente [42,921 ; 51,663] minutos.

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