Numa oficina de consertos de aparelhos eletrônicos, um técnico dedica-se a consertar placas de circuito impresso, substituindo elementos defeituosos (resistores, circuitos integrados etc) por novos. 0 tempo necessário ao conserto de cada placa compõe-se de três partes. Uma parte corresponde às etapas de preparação, reunião das peças necessárias, limpeza etc, e pode considerar-se constante para todas as placas. Outra parte corresponde à substituição propriamente dita dos elementos e pode ser considerada diretamente proporcional à quantidade de elementos a serem trocados. Por fim, há uma parcela não previsível devida às diferenças entre os circuitos das placas, facilidade de acesso aos elementos, perdas de tempo, erros de execução etc, que pode ser descrita por uma variável aleatória com distribuição normal cuja variância independe da quantidade de elementos a trocar na placa.
Os tempos reais gastos com os consertos de um conjunto de placas com quantidades predeterminadas de elementos a trocar estão a seguir.
Quantidade de elementos 2 4 5 7 8 10 12 13 16 17
Tempo de conserto (minutos) 23 20 27 53 50 55 56 70 83 83
Construa um intervalo de previsão com probabilidade igual a 90% para o tempo de conserto de uma placa com 6 elementos defeituosos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um técnico que conserta placas de circuito e o tempo que ele leva para isso depende de três coisas:
  1. Preparação constante: Tempo fixo para preparar tudo.
  2. Substituição dos elementos: Tempo que varia conforme a quantidade de peças que precisam ser trocadas.
  3. Tempo imprevisível: Variável aleatória que segue uma distribuição normal, representando imprevistos no conserto.
A gente tem uma tabela com a quantidade de elementos trocados e o tempo real gasto no conserto. Nosso objetivo é construir um intervalo de previsão com 90% de confiança para o tempo que o técnico vai levar para consertar uma placa com 6 elementos defeituosos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de regressão linear e intervalo de previsão. Vamos seguir os passos para chegar na resposta final!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Quantidade de elementos (x) Tempo de conserto (y)
2 23
4 20
5 27
7 53
8 50
10 55
12 56
13 70
16 83
17 83
Agora, vamos calcular algumas estatísticas básicas que vamos precisar, como a média de x, a média de y, a soma de xy, a soma de x², etc.

Passo 3

Vamos calcular a média de x e a média de y.
barx = 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 12 + 13 + 16 + 1710 = 2+4+5+7+8+10+12+13+16+1710 = 2+4=6, 6+5=11, 11+7=18, 18+8=26, 26+10=36, 36+12=48, 48+13=61, 61+16=77, 77+17=94 10 = 9.4
bary = 23 + 20 + 27 + 53 + 50 + 55 + 56 + 70 + 83 + 8310 = 23+20=43, 43+27=70, 70+53=123, 123+50=173, 173+55=228, 228+56=284, 284+70=354, 354+83=437, 437+83=52010 = 52
Então, barx = 9.4 e bary = 52.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma dos produtos xy e a soma dos quadrados de x ( x^2).
Calculando xy para cada par:
2 times 23 = 46
4 times 20 = 80
5 times 27 = 135
7 times 53 = 371
8 times 50 = 400
10 times 55 = 550
12 times 56 = 672
13 times 70 = 910
16 times 83 = 1328
17 times 83 = 1411
Somando todos esses valores:
46 + 80 + 135 + 371 + 400 + 550 + 672 + 910 + 1328 + 1411 = 6003
Então, sum xy = 6003.
Agora, calculando x^2 para cada valor de x:
2^2 = 4
4^2 = 16
5^2 = 25
7^2 = 49
8^2 = 64
10^2 = 100
12^2 = 144
13^2 = 169
16^2 = 256
17^2 = 289
Somando todos esses valores:
4 + 16 + 25 + 49 + 64 + 100 + 144 + 169 + 256 + 289 = 1116
Então, sum x^2 = 1116.

Passo 5

Com esses valores, podemos calcular os coeficientes da reta de regressão usando as fórmulas:
b = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2
a = bary - b barx
Onde:
  • n = 10 (número de observações)
  • sum xy = 6003
  • sum x = 94
  • sum y = 520
  • sum x^2 = 1116
  • barx = 9.4
  • bary = 52
Vamos calcular b:
b = 10 times 6003 - 94 times 52010 times 1116 - 94^2 = 60030 - 4888011160 - 8836 = 111502324 approx 4.8
Agora, calculando a:
a = 52 - 4.8 times 9.4 = 52 - 45.12 = 6.88
Então, a equação da reta de regressão é:
y = 6.88 + 4.8x

Passo 6

Agora que temos a equação da reta de regressão, podemos prever o tempo de conserto para uma placa com 6 elementos defeituosos. Substituindo x = 6 na equação:
y = 6.88 + 4.8 times 6 = 6.88 + 28.8 = 35.68 minutos
Então, a previsão média é de aproximadamente 35.68 minutos.

Passo 7

Mas a questão pede um intervalo de previsão com 90% de confiança, não apenas uma previsão pontual. Isso significa que queremos dizer algo como “com 90% de certeza, o tempo de conserto estará entre X e Y minutos”.
Para isso, precisamos calcular a variância dos resíduos e usar a distribuição t de Student para considerar a incerteza na previsão.
Primeiro, vamos calcular os resíduos, ou seja, a diferença entre os valores observados e os valores previstos pela nossa reta de regressão.

Passo 8

Vamos calcular os resíduos para cada observação:
Residuo = yi - yi
Usando a equação y = 6.88 + 4.8x:
Para x = 2:
y = 6.88 + 4.8 times 2 = 16.56 Residuo = 23 - 16.56 = 6.44
Para x = 4:
y = 6.88 + 4.8 times 4 = 25.68 Residuo = 20 - 25.68 = -5.68
Continuando assim para todos os pontos:
x y y Resíduo
2 23 6.88 + 9.6 = 16.48 6.52
4 20 6.88 + 19.2 = 26.08 -6.08
5 27 6.88 + 24 = 30.88 -3.88
7 53 6.88 + 33.6 = 40.48 12.52
8 50 6.88 + 38.4 = 45.28 4.72
10 55 6.88 + 48 = 54.88 0.12
12 56 6.88 + 57.6 = 64.48 -8.48
13 70 6.88 + 62.4 = 69.28 0.72
16 83 6.88 + 76.8 = 83.68 -0.68
17 83 6.88 + 81.6 = 88.48 -5.48

Passo 9

Agora, vamos calcular a soma dos quadrados dos resíduos ( SSR):
SSR = sum (Resíduo)^2 = 6.52^2 + (-6.08)^2 + (-3.88)^2 + 12.52^2 + 4.72^2 + 0.12^2 + (-8.48)^2 + 0.72^2 + (-0.68)^2 + (-5.48)^2 í
Calculando cada termo:
6.52^2 approx 42.54
(-6.08)^2 approx 36.97
(-3.88)^2 approx 15.05
12.52^2 approx 156.95
4.72^2 approx 22.28
0.12^2 approx 0.01
(-8.48)^2 approx 71.94
0.72^2 approx 0.52
(-0.68)^2 approx 0.46
(-5.48)^2 approx 30.03
Somando todos esses valores:
42.54 + 36.97 + 15.05 + 156.95 + 22.28 + 0.01 + 71.94 + 0.52 + 0.46 + 30.03 approx 375.75
Então, SSR approx 375.75.

Passo 10

Agora, vamos calcular a variância dos resíduos ( s^2) e o erro padrão da estimativa ( s):
s^2 = SSRn - 2 = 375.7510 - 2 = 375.758 approx 46.97
s = raiz46.97 approx 6.85
Aqui, n - 2 representa os graus de liberdade (porque estimamos dois parâmetros: a e b).

Passo 11

Para construir o intervalo de previsão, usamos a fórmula:
y0 pm talpha/2, n-2 times s raiz1 + 1n + (x0 - barx)^2sum (xi - barx)^2
Onde:
  • y0 é a previsão para x0 = 6.
  • talpha/2, n-2 é o valor crítico da distribuição t de Student para 90% de confiança e n-2 = 8 graus de liberdade.
  • s é o erro padrão.
  • x0 é o valor para o qual queremos a previsão (6).
  • barx é a média de x.
  • sum (xi - barx)^2 é a soma dos quadrados dos desvios de x.
Primeiro, vamos encontrar o valor crítico talpha/2, 8.

Passo 12

Para um intervalo de 90% de confiança, temos alpha = 0.10, então alpha/2 = 0.05. Consultando a tabela t de Student para 8 graus de liberdade e $ \alpha/2 = 0.05 $, encontramos que $ t_{0.05, 8} \approx 1.860 $.

Passo 13

Agora, vamos calcular sum (xi - barx)^2, que já é igual a SSR sem considerar y, mas na verdade precisamos calcular isso separadamente para x:
sum (xi - barx)^2 = sum xi^2 - n barx^2 = 1116 - 10 times (9.4)^2 = 1116 - 10 times 88.36 = 1116 - 883.6 = 232.4
Então, sum (xi - barx)^2 = 232.4.

Passo 14

Agora, substituindo os valores na fórmula do intervalo de previsão:
y0 pm talpha/2, n-2 times s raiz1 + 1n + (x0 - barx)^2sum (xi - barx)^2
Onde:
  • y0 = 35.68
  • t0.05, 8 = 1.860
  • s = 6.85
  • n = 10
  • x0 = 6
  • barx = 9.4
  • sum (xi - barx)^2 = 232.4
Calculando dentro da raiz primeiro:
1 + 110 + (6 - 9.4)^2232.4 = 1 + 0.1 + (-3.4)^2232.4 = 1 + 0.1 + 11.56232.4 approx 1.1 + 0.0497 approx 1.1497
Agora,
raiz1.1497 approx 1.0733
Multiplicando pelos demais fatores:
1.860 times 6.85 times 1.0733 approx 1.860 times 6.85 approx 12.75 times 1.0733 approx 13.70
Então, o intervalo de previsão é:
35.68 pm 13.70

Resposta

O intervalo de previsão com 90% de confiança para o tempo de conserto de uma placa com 6 elementos defeituosos é aproximadamente entre 21 minutos e 49 minutos.

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