Numa oficina de consertos de aparelhos eletrônicos, um técnico dedica-se a consertar placas de circuito impresso, substituindo elementos defeituosos (resistores, circuitos integrados etc) por novos. 0 tempo necessário ao conserto de cada placa compõe-se de três partes. Uma parte corresponde às etapas de preparação, reunião das peças necessárias, limpeza etc, e pode considerar-se constante para todas as placas. Outra parte corresponde à substituição propriamente dita dos elementos e pode ser considerada diretamente proporcional à quantidade de elementos a serem trocados. Por fim, há uma parcela não previsível devida às diferenças entre os circuitos das placas, facilidade de acesso aos elementos, perdas de tempo, erros de execução etc, que pode ser descrita por uma variável aleatória com distribuição normal cuja variância independe da quantidade de elementos a trocar na placa.
Os tempos reais gastos com os consertos de um conjunto de placas com quantidades predeterminadas de elementos a trocar estão a seguir.
Quantidade de elementos
2
4
5
7
8
10
12
13
16
17
Tempo de conserto (minutos)
23
20
27
53
50
55
56
70
83
83
Calcule o coeficiente de determinação da reta de regressão amostral.
Os tempos reais gastos com os consertos de um conjunto de placas com quantidades predeterminadas de elementos a trocar estão a seguir.
Quantidade de elementos | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 | 12 | 13 | 16 | 17 |
Tempo de conserto (minutos) | 23 | 20 | 27 | 53 | 50 | 55 | 56 | 70 | 83 | 83 |
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Estamos em uma oficina de consertos de placas de circuito impresso, onde o tempo para consertar cada placa depende de três partes: uma constante (preparação), uma que é proporcional à quantidade de elementos a serem trocados e uma parte aleatória (diferenças entre circuitos, facilidade de acesso, etc.). O objetivo é calcular o coeficiente de determinação da reta de regressão amostral usando os dados fornecidos sobre a quantidade de elementos substituídos e o tempo de conserto. Para isso, vamos precisar entender conceitos de regressão linear e estatística, como soma dos quadrados, variância e coeficiente de determinação.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos em duas listas: uma para a quantidade de elementos substituídos (X) e outra para o tempo de conserto em minutos (Y).
Quantidade de elementos (X): 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 16, 17
Tempo de conserto (Y): 23, 20, 27, 53, 50, 55, 56, 70, 83, 83
Tempo de conserto (Y): 23, 20, 27, 53, 50, 55, 56, 70, 83, 83
Passo 3
Para calcular o coeficiente de determinação, precisamos primeiro encontrar a reta de regressão que melhor se ajusta aos dados. A fórmula da reta de regressão linear simples é:
Onde:
- $ \hat{Y} $ é o valor estimado de Y,
- $ b_0 $ é o intercepto,
- $ b_1 $ é o coeficiente angular.
Passo 4
Vamos calcular os valores necessários para determinar $ b_1 $ e $ b_0 $. Primeiro, precisamos encontrar a média de X e a média de Y.
Calculando:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ b_1 $ usando a fórmula:
Primeiro, calculamos cada termo $ (X_i - \bar{X}) $ e $ (Y_i - \bar{Y}) $, depois multiplicamos e somamos para o numerador e somamos os quadrados para o denominador.
Vamos calcular passo a passo:
X_i | Y_i | X_i - 9.4 | Y_i - 54 | (X_i - 9.4)(Y_i - 54) | (X_i - 9.4)^2 |
---|---|---|---|---|---|
2 | 23 | -7.4 | -31 | 229.4 | 54.76 |
4 | 20 | -5.4 | -34 | 183.6 | 29.16 |
5 | 27 | -4.4 | -27 | 118.8 | 19.36 |
7 | 53 | -2.4 | -1 | 2.4 | 5.76 |
8 | 50 | -1.4 | -4 | 5.6 | 1.96 |
10 | 55 | 0.6 | 1 | 0.6 | 0.36 |
12 | 56 | 2.6 | 2 | 5.2 | 6.76 |
13 | 70 | 3.6 | 16 | 57.6 | 12.96 |
16 | 83 | 6.6 | 29 | 191.4 | 43.56 |
17 | 83 | 7.6 | 29 | 220.4 | 57.76 |
Agora, somamos as colunas de $ (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) $ e $ (X_i - \bar{X})^2 $:
Passo 6
Agora, podemos calcular $ b_1 $:
Em seguida, calculamos $ b_0 $ usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Com os valores de $ b_0 $ e $ b_1 $, nossa reta de regressão é:
Passo 8
Agora, vamos calcular o coeficiente de determinação $ R^2 $, que nos indica o quanto da variabilidade em Y é explicada pelo modelo de regressão. A fórmula é:
Onde:
- $ SSR $ é a soma dos quadrados da regressão,
- $ SST $ é a soma total dos quadrados.
Vamos calcular $ SST $ primeiro:
Calculando cada termo:
Y_i | Y_i - 54 | (Y_i - 54)^2 |
---|---|---|
23 | -31 | 961 |
20 | -34 | 1156 |
27 | -27 | 729 |
53 | -1 | 1 |
50 | -4 | 16 |
55 | 1 | 1 |
56 | 2 | 4 |
70 | 16 | 256 |
83 | 29 | 841 |
83 | 29 | 841 |
Somando:
Passo 9
Agora, calculamos $ SSR $, a soma dos quadrados da regressão:
Primeiro, calculamos $ \hat{Y} $ para cada X_i usando a reta de regressão:
Calculando para cada X_i:
X_i | $ \hat{Y}_i $ | $ \hat{Y}_i - 54 $ | $ (\hat{Y}_i - 54)^2 $ |
---|---|---|---|
2 | 8.692 + 9.64 = 18.332 | -35.668 | 1273.7 |
4 | 8.692 + 19.28 = 27.972 | -26.028 | 677.4 |
5 | 8.692 + 24.1 = 32.792 | -21.208 | 449.6 |
7 | 8.692 + 33.74 = 42.432 | -11.568 | 133.2 |
8 | 8.692 + 38.56 = 47.252 | -6.748 | 45.6 |
10 | 8.692 + 48.2 = 56.892 | 2.892 | 8.37 |
12 | 8.692 + 57.84 = 66.532 | 12.532 | 157.1 |
13 | 8.692 + 62.66 = 71.352 | 17.352 | 301.3 |
16 | 8.692 + 76.72 = 85.412 | 31.412 | 986.5 |
17 | 8.692 + 81.94 = 90.632 | 36.632 | 1340.5 |
Somando:
Passo 10
Porém, percebemos que $ SSR $ não pode ser maior que $ SST $. Isso indica um erro nos cálculos anteriores. Revisando, percebemos que o cálculo de $ \hat{Y}_i $ estava incorreto. Vamos recalcular corretamente:
Calculando para cada X_i:
X_i | $ \hat{Y}_i $ | $ \hat{Y}_i - 54 $ | $ (\hat{Y}_i - 54)^2 $ |
---|---|---|---|
2 | 8.692 + (4.82 × 2) = 18.332 | -35.668 | 1273.7 |
4 | 8.692 + (4.82 × 4) = 27.972 | -26.028 | 677.4 |
5 | 8.692 + (4.82 × 5) = 32.792 | -21.208 | 449.6 |
7 | 8.692 + (4.82 × 7) = 42.432 | -11.568 | 133.2 |
8 | 8.692 + (4.82 × 8) = 47.252 | -6.748 | 45.6 |
10 | 8.692 + (4.82 × 10) = 56.892 | 2.892 | 8.37 |
12 | 8.692 + (4.82 × 12) = 66.532 | 12.532 | 157.1 |
13 | 8.692 + (4.82 × 13) = 71.352 | 17.352 | 301.3 |
16 | 8.692 + (4.82 × 16) = 85.412 | 31.412 | 986.5 |
17 | 8.692 + (4.82 × 17) = 90.632 | 36.632 | 1340.5 |
Somando corretamente:
Ainda, o valor $ SSR $ não pode ser maior que $ SST = 4706 $. Portanto, houve um erro conceitual. Na verdade, o $ SSR $ deve ser menor ou igual a $ SST $.
Na verdade, o correto é calcular o $ SSR $ como a soma dos quadrados das diferenças entre os valores estimados $ \hat{Y}_i $ e a média $ \bar{Y} $, mas deve-se observar que a reta de regressão minimiza essa soma. Portanto, os valores calculados previamente estavam incorretos.
Para simplificar, vamos utilizar a relação entre $ R^2 $, $ SST $, e $ SSR $:
Onde $ SSE $ é a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja:
Vamos calcular $ SSE $:
Passo 11
Calculando $ SSE $:
Usando os valores de $ Y_i $ e $ \hat{Y}_i $:
Y_i | $ \hat{Y}_i $ | $ Y_i - \hat{Y}_i $ | $ (Y_i - \hat{Y}_i)^2 $ |
---|---|---|---|
2 | 18.332 | 23 - 18.332 = 4.668 | 21.785 |
4 | 27.972 | 20 - 27.972 = -7.972 | 63.554 |
5 | 32.792 | 27 - 32.792 = -5.792 | 33.576 |
7 | 42.432 | 53 - 42.432 = 10.568 | 111.531 |
8 | 47.252 | 50 - 47.252 = 2.748 | 7.549 |
10 | 56.892 | 55 - 56.892 = -1.892 | 3.572 |
12 | 66.532 | 56 - 66.532 = -10.532 | 110.943 |
13 | 71.352 | 70 - 71.352 = -1.352 | 1.829 |
16 | 85.412 | 83 - 85.412 = -2.412 | 5.817 |
17 | 90.632 | 83 - 90.632 = -7.632 | 58.265 |
Somando os quadrados dos resíduos:
Passo 12
Agora, podemos calcular $ R^2 $:
Resposta
O coeficiente de determinação da reta de regressão amostral é aproximadamente 0,9093 ou 90,93%.