A seguir estão dados sobre a renda total e os gastos com alimentação, em reais, num mês escolhido ao acaso, de 18 determinadas famílias de uma grande cidade brasileira. Supõe-se que o valor gasto pela família i em alimentação, Ai, pode ser expresso por Ai=alpha+beta cdot Ri+varepsiloni, onde Ri é a renda da família i e os varepsiloni
b) Construa um intervalo de 90% de confiança para os gastos com alimentação de uma família cuja renda mensal é igual a 4.200 reais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dados sobre a renda total ( Ri) e os gastos com alimentação ( Ai) de 18 famílias. A relação entre esses dois está modelada pela equação Ai = alpha + beta cdot Ri + varepsiloni, onde alpha e beta são parâmetros que precisamos estimar, e varepsiloni é o erro. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 90% para os gastos com alimentação de uma família cuja renda mensal é de 4.200 reais. Para isso, vamos precisar entender conceitos de regressão linear, estimativas dos parâmetros, erro padrão e distribuição t.

Passo 2

Primeiro, precisamos estimar os parâmetros alpha e beta da equação de regressão. Isso geralmente é feito usando o método dos mínimos quadrados, que encontra os valores de alpha e beta que minimizam a soma dos quadrados dos erros ( varepsiloni). No entanto, como não temos os dados específicos, vamos assumir que já temos esses estimados, digamos alpha e beta.

Passo 3

Com os estimados alpha e beta, podemos prever os gastos com alimentação ( A) para uma família com renda R = 4.200 reais usando a equação da regressão:
A = alpha + beta cdot 4200

Passo 4

Agora, para construir o intervalo de confiança, precisamos calcular o erro padrão da previsão. O erro padrão leva em conta a variabilidade dos dados ao redor da linha de regressão e a precisão da estimativa dos parâmetros alpha e beta. A fórmula geral para o erro padrão da previsão é:
SE = s cdot raiz1 + 1n + (4200 - R)^2sumi=1^n (Ri - R)^2
Onde:
  • s é o erro padrão residual da regressão.
  • n é o número de observações (neste caso, 18).
  • R é a média das rendas.

Passo 5

Com o erro padrão calculado, usamos a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 90% e aos graus de liberdade df = n - 2 = 16. Supondo que o valor crítico t0.05,16 seja aproximadamente 1,746 (esse valor pode variar um pouco dependendo da tabela utilizada).

Passo 6

Finalmente, o intervalo de confiança de 90% para os gastos com alimentação será:
A pm t0.05,16 cdot SE
Isso significa que estamos 90% confiantes de que o verdadeiro valor dos gastos com alimentação para uma família com renda de 4.200 reais está dentro desse intervalo.

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para os gastos com alimentação de uma família com renda mensal de 4.200 reais é dado por A pm 1,746 cdot SE, onde A é a previsão dos gastos e SE é o erro padrão da previsão.

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