A seguir estão dados sobre a renda total e os gastos com alimentação, em reais, num mês escolhido ao acaso, de 18 determinadas famílias de uma grande cidade brasileira. Supõe-se que o valor gasto pela família em alimentação, , pode ser expresso por , onde é a renda da família e os
b) Construa um intervalo de 90% de confiança para os gastos com alimentação de uma família cuja renda mensal é igual a 4.200 reais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dados sobre a renda total () e os gastos com alimentação () de 18 famílias. A relação entre esses dois está modelada pela equação , onde e são parâmetros que precisamos estimar, e é o erro. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 90% para os gastos com alimentação de uma família cuja renda mensal é de 4.200 reais. Para isso, vamos precisar entender conceitos de regressão linear, estimativas dos parâmetros, erro padrão e distribuição .
Passo 2
Primeiro, precisamos estimar os parâmetros e da equação de regressão. Isso geralmente é feito usando o método dos mínimos quadrados, que encontra os valores de e que minimizam a soma dos quadrados dos erros (). No entanto, como não temos os dados específicos, vamos assumir que já temos esses estimados, digamos e .
Passo 3
Com os estimados e , podemos prever os gastos com alimentação () para uma família com renda reais usando a equação da regressão:
Passo 4
Agora, para construir o intervalo de confiança, precisamos calcular o erro padrão da previsão. O erro padrão leva em conta a variabilidade dos dados ao redor da linha de regressão e a precisão da estimativa dos parâmetros e . A fórmula geral para o erro padrão da previsão é:
Onde:
s é o erro padrão residual da regressão.
n é o número de observações (neste caso, 18).
R é a média das rendas.
Passo 5
Com o erro padrão calculado, usamos a distribuição t de Student para encontrar o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 90% e aos graus de liberdade df = n - 2 = 16. Supondo que o valor crítico t0.05,16 seja aproximadamente 1,746 (esse valor pode variar um pouco dependendo da tabela utilizada).
Passo 6
Finalmente, o intervalo de confiança de 90% para os gastos com alimentação será:
A pm t0.05,16 cdot SE
Isso significa que estamos 90% confiantes de que o verdadeiro valor dos gastos com alimentação para uma família com renda de 4.200 reais está dentro desse intervalo.
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para os gastos com alimentação de uma família com renda mensal de 4.200 reais é dado por A pm 1,746 cdot SE, onde A é a previsão dos gastos e SE é o erro padrão da previsão.