Uma urna contém 3 bolas brancas, 5 vermelhas e 6 pretas. Extraindo-se, sem reposição 3 bolas, calcule a probabilidade: exatamente uma seja vermelha

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade juntos! O enunciado nos diz que temos uma urna com 3 bolas brancas, 5 vermelhas e 6 pretas, totalizando 14 bolas. Precisamos calcular a probabilidade de, ao retirar 3 bolas sem reposição, exatamente uma delas seja vermelha. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que envolve combinações de elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o total de maneiras de retirar 3 bolas de uma urna com 14 bolas. Isso é uma combinação, já que a ordem não importa. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 14 $ e $ k = 3 $. Então:
n = 14
Existem 364 maneiras de retirar 3 bolas.

Passo 3

Agora, queremos exatamente uma bola vermelha nas 3 retiradas. Para isso, vamos calcular as maneiras de escolher 1 bola vermelha e 2 bolas que não são vermelhas.
Primeiro, calculamos as combinações para escolher 1 bola vermelha. Temos 5 bolas vermelhas:
C(5, 1) = 5
Em seguida, precisamos escolher 2 bolas que não são vermelhas. Como temos 3 brancas e 6 pretas, totalizando 9 bolas que não são vermelhas:
C(9, 2) = 9!2!(9 - 2)! = 9 times 82 times 1 = 36

Passo 4

Agora, multiplicamos as combinações de bolas vermelhas pelas combinações de bolas não vermelhas para encontrar o número total de maneiras favoráveis:
5 times 36 = 180
Então, há 180 maneiras de retirar exatamente uma bola vermelha e duas não vermelhas.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras possíveis:
P(exatamente uma vermelha) = 180364 = 4591 approx 0,4945

Resposta

A probabilidade de extrair exatamente uma bola vermelha é 4591, ou aproximadamente 49,45 %.

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