Um óleo (rho=0,9 e mu=1,25 cp) escoa, à vazão de 200 galões por minuto, numa tubulação horizontal de aço comercial, Schedule 40 , que possui uma rugosidade de 1,6 times 10^-4 ft. Calcular o diâmetro da tubulação que permita uma perda de carga máxima de 2 psi / 100 metros de tubulação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um óleo com densidade e viscosidade cp que está passando por uma tubulação horizontal de aço. A vazão é de 200 galões por minuto, e queremos achar o diâmetro dessa tubulação de modo que a perda de carga máxima seja de 2 psi a cada 100 metros. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Darcy-Weisbach, além de fazer algumas conversões de unidades e calcular a velocidade do fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. Sabemos que:
  • 1 galão americano = 3,78541 litros
  • 1 cp (centipoise) = 0,001 Pa·s
  • 1 psi = 6894,76 Pa
  • 1 pé = 0,3048 metros
Então, vamos converter a vazão de 200 galões por minuto para metros cúbicos por segundo.

Passo 3

Convertendo a vazão:
200 , gal/min times 3,78541 , L1 , gal times 1 , m^31000 , L times 1 , min60 , s approx 0,01257 , m^3/s

Passo 4

Agora, vamos converter a rugosidade de 1,6 times 10^-4 , ft times 0,3048 , m/ft approx 4,878 times 10^-5 , m pés para metros:

Passo 5

A perda de carga máxima permitida é de 2 psi por 100 metros. Convertendo isso para Pascals:
2 , psi times 6894,76 , Pa/psi = 13789,52 , Pa
Mas isso é para 100 metros, então por metro:
13789,52 , Pa100 , m = 137,8952 , Pa/m

Passo 6

Vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga:
De
Onde:
  • v = QA = 4Qpi D^2 é a perda de carga por metro ( )
  • é o fator de atrito
  • é o comprimento (1 m aqui)
  • é o diâmetro da tubulação
  • é a densidade do óleo ( )
  • é a velocidade do fluido
Precisamos expressar em função da vazão e do diâmetro:
Onde é a área da seção transversal.

Passo 7

Substituindo De na equação de Darcy-Weisbach:
De
Simplificando:

Passo 8

Agora, rearranjamos para resolver para D^5 = f cdot 8 rho Q^2pi^2 De:
D = ( f cdot 8 rho Q^2pi^2 De

Passo 9

Para encontrar 1raizf = -2 log ( epsilon/D3,7 + 2,51Re raizf ) , precisamos do fator de atrito Re = rho v Dmu . Usamos a equação de Colebrook:
Primeiro, calculamos o número de Reynolds ( ):
Como ainda não temos , esse passo envolve iteração ou uso de gráficos/métodos numéricos. Para simplificar, assumimos um valor inicial de e refinamos conforme necessário.

Passo 10

Após resolver iterativamente ou usando uma aproximação para D = ( 0,02 cdot 8 cdot 900 cdot (0,01257)^2pi^2 cdot 137,8952 )^1/5 , substituímos todos os valores na equação para 0,02 cdot 8 cdot 900 cdot 0,0001589,8696 cdot 137,8952 approx 2,2811360,27 approx 0,001676 . Supondo D = (0,001676)^1/5 approx 0,24 , m , temos:
Calculando dentro do parênteses:
Então:

Resposta

O diâmetro da tubulação necessário para que a perda de carga máxima seja de 2 psi a cada 100 metros é aproximadamente 0,24 metros.

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