Uma onda com campo elétrico dado por E(y, t)=E0 cos (k y-omega t) k incide sobre um filtro polarizador disposto perpendicularmente ao eixo y e que tem o eixo de polarização orientado paralelamente à direção do versor do versor u=cos theta imath+sin theta k, sendo theta o ângulo formado entre a direção de polarização do filtro e a direção x.
Determine a energia elétrica da onda transmitida;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda eletromagnética com um campo elétrico dado por E(y, t) = E0 cos(k y - omega t) k que bate num filtro polarizador. Esse filtro está posicionado perpendicularmente ao eixo y e tem a direção de polarização definida por u = cos theta imath + sin theta k, onde theta é o ângulo entre a direção de polarização do filtro e o eixo x. O que a gente precisa fazer é descobrir qual a energia elétrica da onda que passa por esse filtro.
Para resolver isso, vamos precisar entender como um polarizador afeta o campo elétrico de uma onda e como calcular a energia elétrica de uma onda eletromagnética. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polarizador. Um filtro polarizador permite que apenas a componente do campo elétrico alinhada com sua direção de polarização passe. No nosso caso, a direção de polarização está na direção de u = cos theta imath + sin theta k.
A onda incidente tem seu campo elétrico na direção de k, que é ao longo do eixo z. Mas o filtro está alinhado em uma direção que faz um ângulo theta com o eixo x. Então, para saber o que passa pelo filtro, precisamos projetar o campo elétrico da onda na direção do filtro.

Passo 3

Vamos calcular a projeção do campo elétrico E na direção do filtro u. A projeção de E em u é dada pelo produto escalar:
Etransmitido = E cdot u
Substituindo E(y, t) = E0 cos(k y - omega t) k e u = cos theta imath + sin theta k:
Etransmitido = E0 cos(k y - omega t) k cdot (cos theta imath + sin theta k) = E0 cos(k y - omega t) sin theta
Então, o campo elétrico transmitido é:
Etransmitido = E0 sin theta cos(k y - omega t) u

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia elétrica da onda transmitida. A densidade de energia elétrica uE de uma onda eletromagnética é dada por:
uE = 12 varepsilon0 E^2
Onde varepsilon0 é a permitividade do vácuo e E é a amplitude do campo elétrico.
No nosso caso, a amplitude do campo elétrico transmitido é E0 sin theta. Então, substituindo na fórmula:
uE, transmitido = 12 varepsilon0 (E0 sin theta)^2 = 12 varepsilon0 E0^2 sin^2 theta

Resposta

A energia elétrica da onda transmitida é 12 varepsilon0 E0^2 sin^2 theta.

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