Considere duas ondas eletromagnéticas viajando no vácuo. Os campos elétricos dessas ondas são descritos, respectivamente, por:
Determine o vetor de Poynting,
, da onda resultante. Expresse sua resposta em termos das amplitudes
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o vetor de Poynting,
, para a onda resultante de duas ondas eletromagnéticas que estão viajando no vácuo. A matéria envolvida aqui é a eletrodinâmica, mais especificamente o estudo das ondas eletromagnéticas e como elas transportam energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os campos elétricos das duas ondas, encontrar o campo magnético correspondente e, por fim, calcular o vetor de Poynting usando esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico total da onda resultante é a soma dos campos elétricos das duas ondas individuais. Vamos escrever isso matematicamente:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o campo magnético correspondente da onda resultante. Sabemos que, em uma onda eletromagnética no vácuo, o campo magnético está relacionado ao campo elétrico pela seguinte relação:
Onde
é a velocidade da luz no vácuo e
é a direção de propagação da onda. Supondo que as ondas estão se propagando na direção x, temos:
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial
:
Lembrando que:
Então,
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular o vetor de Poynting, que nos dá a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética. A fórmula para o vetor de Poynting é:
Onde
é a permeabilidade do vácuo. Vamos substituir
e
na expressão.
Passo 6
Substituindo os valores de
e
:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 7
Primeiro, vamos fatorar os termos constantes:
Agora, vamos distribuir o produto vetorial:
Lembrando que:
Passo 8
Aplicando as identidades vetoriais:
Simplificando os termos:
Passo 9
Sabemos que
, então:
Passo 10
Finalmente, lembrando que no vácuo,
e também que
, onde
é a permissividade do vácuo. Mas como a questão pede para expressar em termos de
e
, podemos reescrever:
Resposta
O vetor de Poynting da onda resultante é dado por: