Considere duas ondas eletromagnéticas viajando no vácuo. Os campos elétricos dessas ondas são descritos, respectivamente, por:
E1(x, t)=E0 sin (k x-omega t) jmath e E2(x, t)=E0 cos (k x-omega t) k
Determine o vetor de Poynting, S(x, t), da onda resultante. Expresse sua resposta em termos das amplitudes E0 e B0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o vetor de Poynting, S(x, t), para a onda resultante de duas ondas eletromagnéticas que estão viajando no vácuo. A matéria envolvida aqui é a eletrodinâmica, mais especificamente o estudo das ondas eletromagnéticas e como elas transportam energia. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar os campos elétricos das duas ondas, encontrar o campo magnético correspondente e, por fim, calcular o vetor de Poynting usando esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico total da onda resultante é a soma dos campos elétricos das duas ondas individuais. Vamos escrever isso matematicamente:
E(x, t) = E1(x, t) + E2(x, t) = E0 sin (k x - omega t) jmath + E0 cos (k x - omega t) k
Aqui, jmath e k são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o campo magnético correspondente da onda resultante. Sabemos que, em uma onda eletromagnética no vácuo, o campo magnético está relacionado ao campo elétrico pela seguinte relação:
B = 1c n times E
Onde c é a velocidade da luz no vácuo e n é a direção de propagação da onda. Supondo que as ondas estão se propagando na direção x, temos:
B(x, t) = 1c i times E(x, t)

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial i times E(x, t):
i times E(x, t) = i times [ E0 sin (k x - omega t) jmath + E0 cos (k x - omega t) k ]
Lembrando que:
  • i times jmath = k
  • i times k = -jmath
Então,
i times E(x, t) = E0 sin (k x - omega t) k - E0 cos (k x - omega t) jmath
Portanto,
B(x, t) = E0c [ sin (k x - omega t) k - cos (k x - omega t) jmath ]

Passo 5

Agora, vamos calcular o vetor de Poynting, que nos dá a densidade de fluxo de energia da onda eletromagnética. A fórmula para o vetor de Poynting é:
S = 1mu0 E times B
Onde mu0 é a permeabilidade do vácuo. Vamos substituir E e B na expressão.

Passo 6

Substituindo os valores de E e B:
S = 1mu0 [ E0 sin (k x - omega t) jmath + E0 cos (k x - omega t) k ] times [ E0c ( sin (k x - omega t) k - cos (k x - omega t) jmath ) ]
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 7

Primeiro, vamos fatorar os termos constantes:
S = E0^2mu0 c [ sin (k x - omega t) jmath + cos (k x - omega t) k ] times [ sin (k x - omega t) k - cos (k x - omega t) jmath ]
Agora, vamos distribuir o produto vetorial:
S = E0^2mu0 c [ sin (k x - omega t) sin (k x - omega t) jmath times k - sin (k x - omega t) cos (k x - omega t) jmath times jmath + cos (k x - omega t) sin (k x - omega t) k times k - cos (k x - omega t) cos (k x - omega t) k times jmath ]
Lembrando que:
  • jmath times k = i
  • jmath times jmath = 0
  • k times k = 0
  • k times jmath = -i

Passo 8

Aplicando as identidades vetoriais:
S = E0^2mu0 c [ sin^2(k x - omega t) i - 0 + 0 - cos^2(k x - omega t) (-i) ]
Simplificando os termos:
S = E0^2mu0 c [ sin^2(k x - omega t) + cos^2(k x - omega t) ] i

Passo 9

Sabemos que sin^2 theta + cos^2 theta = 1, então:
S = E0^2mu0 c cdot 1 cdot i = E0^2mu0 c i

Passo 10

Finalmente, lembrando que no vácuo, B0 = E0c e também que mu0 c = 1epsilon0, onde epsilon0 é a permissividade do vácuo. Mas como a questão pede para expressar em termos de E0 e B0, podemos reescrever:
S = E0 B0 i

Resposta

O vetor de Poynting da onda resultante é dado por:
S(x, t) = E0 B0 i

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