Uma onda senoidal progressiva viajando em uma direção positiva em uma corda tem equação y = Asen (kx - wt + p). Em t = 0 e no ponto x = 0 o deslocamento na direção y é √2 cm. A onda tem amplitude de 2,0 cm, comprimento de onda de 20,0 cm e frequência de 4,00 Hz. Determine:
-a) O número de onda k e o período T.
b) A frequência angular e a velocidade v da onda.
c) A constante de fase
d) A expressão geral para descrever a função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma onda senoidal que se propaga na direção positiva em uma corda, descrita pela equação:
y = A sin(kx - omega t + phi)
Nos dão algumas informações:
  • Amplitude $ A = 2,0 $ cm
  • Comprimento de onda $ \lambda = 20,0 $ cm
  • Frequência $ f = 4,00 $ Hz
  • Em $ t = 0 $ e $ x = 0 $, o deslocamento $ y = \sqrt{2} $ cm
Vamos precisar entender de ondas senoidais, como calcular número de onda $ k $, período $ T $, frequência angular $ \omega $, velocidade $ v $, constante de fase $ \phi $ e montar a expressão geral da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o número de onda $ k $. O número de onda está relacionado com o comprimento de onda $ \lambda $ pela fórmula:
k
Substituindo $ \lambda = 20,0 $ cm:
lambda

Passo 3

Agora, vamos determinar o período $ T $. O período é o inverso da frequência:
T
Sabendo que $ f = 4,00 $ Hz:
T = 1f

Passo 4

Passando para a parte b), vamos calcular a frequência angular $ \omega $. A frequência angular está relacionada com a frequência $ f $ pela fórmula:
omega
Substituindo $ f = 4,00 $ Hz:
f

Passo 5

Ainda na parte b), vamos encontrar a velocidade $ v $ da onda. A velocidade de uma onda é dada por:
v
Com $ \lambda = 20,0 $ cm e $ f = 4,00 $ Hz:
v = lambda times f

Passo 6

Agora, na parte c), precisamos determinar a constante de fase $ \phi $. Sabemos que em $ t = 0 $ e $ x = 0 $:
phi
Substituindo $ A = 2,0 $ cm:
t = 0
x = 0
A solução para $ \sin(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ é:
y = A sin(phi) = raiz2 , cm

Passo 7

Por fim, na parte d), vamos montar a expressão geral da onda com todos os valores encontrados:
y = A sin(kx - omega t + phi)
Substituindo os valores:
y = 2,0 sin(pi10x - 8pi t + pi4)

Resposta

A expressão geral da onda é:
y = 2,0 sin(pi10x - 8pi t + pi4)

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