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é igual a
é a massa do corpo,
é a distância ao centro da Terra, e
é o raio da
.
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? (41.8 min)
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? (41.8 min)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre física, mais especificamente sobre o movimento de um objeto dentro de um túnel que atravessa a Terra. A pergunta é: quanto tempo um objeto levaria para ir de um lado da Terra até o outro se fosse largado nesse túnel? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre força gravitacional e movimentos harmônicos simples.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a força que atua no objeto dentro do túnel. A fórmula que temos é:
Aqui,
é a força gravitacional,
é a massa do objeto,
é a aceleração da gravidade na superfície da Terra (
),
é a distância do objeto ao centro da Terra, e
é o raio da Terra (
metros).
Essa fórmula mostra que a força gravitacional diminui linearmente conforme o objeto se aproxima do centro da Terra. Isso significa que o objeto vai oscilar de um lado para o outro, como um pêndulo ou mola, configurando um movimento harmônico simples.
Passo 3
No movimento harmônico simples, a posição do objeto em função do tempo é descrita por funções senoidais, e o tempo que leva para completar uma oscilação completa é chamado de período (
). A fórmula do período para esse tipo de movimento é:
Vamos calcular esse período usando os valores que temos:
Convertendo segundos para minutos:
Isso é o tempo para uma oscilação completa, ou seja, ir de um lado da Terra até o outro e voltar.
Passo 4
Mas a pergunta quer saber apenas o tempo para ir de um lado até o outro, não para completar a ida e volta. Portanto, dividimos o período por 2:
Arredondando, fica aproximadamente 41,8 minutos.
Resposta
O objeto levaria aproximadamente 41,8 minutos para chegar do outro lado da Terra.