F=-m g rR
onde g é igual a 9,8 m / s^2, m é a massa do corpo, r é a distância ao centro da Terra, e R é o raio da Terra(R=6,37 times 10^6).
a) Supondo que um objeto seja largado neste túnel, quanto tempo levaria para chegar do outro lado da Terra? (41.8 min)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre física, mais especificamente sobre o movimento de um objeto dentro de um túnel que atravessa a Terra. A pergunta é: quanto tempo um objeto levaria para ir de um lado da Terra até o outro se fosse largado nesse túnel? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre força gravitacional e movimentos harmônicos simples.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a força que atua no objeto dentro do túnel. A fórmula que temos é:
F = -m g rR
Aqui, F é a força gravitacional, m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra ( 9,8 m/s^2), r é a distância do objeto ao centro da Terra, e R é o raio da Terra ( 6,37 times 10^6 metros).
Essa fórmula mostra que a força gravitacional diminui linearmente conforme o objeto se aproxima do centro da Terra. Isso significa que o objeto vai oscilar de um lado para o outro, como um pêndulo ou mola, configurando um movimento harmônico simples.

Passo 3

No movimento harmônico simples, a posição do objeto em função do tempo é descrita por funções senoidais, e o tempo que leva para completar uma oscilação completa é chamado de período ( T). A fórmula do período para esse tipo de movimento é:
T = 2pi raizRg
Vamos calcular esse período usando os valores que temos:
T = 2pi raiz6,37 times 10^6 m9,8 m/s^2 approx 2pi raiz6,5 times 10^5 s^2 approx 2pi times 805 s approx 5062 s
Convertendo segundos para minutos:
5062 s div 60 approx 84,3 minutos
Isso é o tempo para uma oscilação completa, ou seja, ir de um lado da Terra até o outro e voltar.

Passo 4

Mas a pergunta quer saber apenas o tempo para ir de um lado até o outro, não para completar a ida e volta. Portanto, dividimos o período por 2:
84,3 minutos2 approx 42,15 minutos
Arredondando, fica aproximadamente 41,8 minutos.

Resposta

O objeto levaria aproximadamente 41,8 minutos para chegar do outro lado da Terra.

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