x(t) & =10 cos (pi t)+10 cos (pi t+alpha) & =A cos (pi t+phi)
a) Obtenha A e phi em função de alpha cdot(A=20 cos (alpha / 2) ; phi=alpha / 2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é a soma de duas cossenos com a mesma frequência, mas com um desvio de fase diferente. A matéria aqui é trigonometria, e vamos precisar usar fórmulas de soma de cossenos para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, observe que temos:
x(t) = 10 cos (pi t) + 10 cos (pi t + alpha)
Aqui, ambos os cossenos têm a mesma frequência angular, que é pi. A diferença está no ângulo de fase alpha no segundo termo.

Passo 3

Para somar dois cossenos com a mesma frequência, usamos a fórmula:
cos A + cos B = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)
Nesse caso, vamos identificar A e B:
  • A = pi t
  • B = pi t + alpha

Passo 4

Aplicando a fórmula:
cos(pi t) + cos(pi t + alpha) = 2 cos(pi t + pi t + alpha2) cos(pi t - (pi t + alpha)2)
Simplificando os termos dentro dos cossenos:
= 2 cos(2pi t + alpha2) cos(-alpha2)

Passo 5

Continuando a simplificação:
= 2 cos(pi t + alpha2) cos(-alpha2)
Lembrando que cos(-x) = cos(x), então:
= 2 cos(pi t + alpha2) cos(alpha2)

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão original de x(t):
x(t) = 10 [ 2 cos(pi t + alpha2) cos(alpha2) ]
Multiplicando os coeficientes:
x(t) = 20 cos(alpha2) cos(pi t + alpha2)

Passo 7

Comparando com a forma desejada:
x(t) = A cos(pi t + phi)
Portanto, identificamos que:
  • A = 20 cos(alpha2)
  • phi = alpha2

Resposta

Então, conseguimos mostrar que:
A = 20 cos(alpha2) e phi = alpha2

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