onde
é o montante inicial do elemento e
é a constante de proporcionalidade que satisfaz a equação (taxa de variação instantânea de
no momento
.
O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Se 16 g de Iodo-131 estão presentes inicialmente, determine:
(a) uma função que dê a quantidade de Iodo-131,
, em gramas,
dias depois;
O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Se 16 g de Iodo-131 estão presentes inicialmente, determine:
(a) uma função que dê a quantidade de Iodo-131,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o decaimento do iodo-131, que segue a equação
. Aqui,
é a quantidade inicial,
é a constante de decaimento (que é negativa porque a quantidade está diminuindo), e
é o tempo em dias. Nosso objetivo é encontrar uma função que nos diga quanto de iodo-131 resta após
dias, sabendo que a meia-vida desse isótopo é de 8 dias e que inicialmente temos 16 gramas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade da quantidade inicial de uma substância radioativa se decompor. Então, se começamos com 16 gramas, após 8 dias teremos 8 gramas restantes.
Passo 3
Vamos usar essa informação para encontrar a constante
na equação
. Sabemos que
gramas, então substituímos na equação:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por 16 para simplificar:
Passo 5
Agora, para isolar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Resolvendo para
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora que temos
, podemos escrever a função completa para
:
Resposta
A função que dá a quantidade de Iodo-131 após
dias é:
Exercícios relacionados
Se
, mostre que
.
Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).