onde é o montante inicial do elemento e é a constante de proporcionalidade que satisfaz a equação (taxa de variação instantânea de no momento .
O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Se 16 g de Iodo-131 estão presentes inicialmente, determine:
(a) uma função que dê a quantidade de Iodo-131, , em gramas, dias depois;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o decaimento do iodo-131, que segue a equação . Aqui, é a quantidade inicial, é a constante de decaimento (que é negativa porque a quantidade está diminuindo), e é o tempo em dias. Nosso objetivo é encontrar uma função que nos diga quanto de iodo-131 resta após dias, sabendo que a meia-vida desse isótopo é de 8 dias e que inicialmente temos 16 gramas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é meia-vida. A meia-vida é o tempo que leva para metade da quantidade inicial de uma substância radioativa se decompor. Então, se começamos com 16 gramas, após 8 dias teremos 8 gramas restantes.

Passo 3

Vamos usar essa informação para encontrar a constante na equação . Sabemos que gramas, então substituímos na equação:

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 16 para simplificar:

Passo 5

Agora, para isolar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 6

Resolvendo para :
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora que temos , podemos escrever a função completa para :

Resposta

A função que dá a quantidade de Iodo-131 após dias é:

Exercícios relacionados

Se , mostre que .
Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).
Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).