Se , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, dado , a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais de funções de duas variáveis e algumas propriedades de exponenciais. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora; vou explicar cada passo de forma simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a ( ) mede como muda quando apenas muda, mantendo constante. O mesmo vale para .
Nosso objetivo é calcular e , somá-las e verificar se o resultado é .

Passo 3

Vamos começar calculando .
Temos:
Aplicando a regra do quociente para derivadas:
Calculando as derivadas:
  • (pela regra da cadeia)
  • (pois é constante em relação a )
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos calcular da mesma maneira.
Novamente, temos:
Aplicando a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos somar e :
Vamos fatorar no numerador:

Resposta

Assim, demonstramos que:
como queríamos mostrar.

Exercícios relacionados

Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Calcular as derivadas parciais indicadas:
18) ?
onde é o montante inicial do elemento e é a constante de proporcionalidade que satisfaz a equação (taxa de variação instantânea de no momento .
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(a) uma função que dê a quantidade de Iodo-131, , em gramas, dias depois;
Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).