Se
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, dado
, a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
é igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais de funções de duas variáveis e algumas propriedades de exponenciais. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados agora; vou explicar cada passo de forma simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
(
) mede como
muda quando apenas
muda, mantendo
constante. O mesmo vale para
.
Nosso objetivo é calcular
e
, somá-las e verificar se o resultado é
.
Passo 3
Vamos começar calculando
.
Temos:
Aplicando a regra do quociente para derivadas:
Calculando as derivadas:
-
(pela regra da cadeia) -
(pois é constante em relação a )
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular
da mesma maneira.
Novamente, temos:
Aplicando a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos somar
e
:
Vamos fatorar
no numerador:
Resposta
Assim, demonstramos que:
como queríamos mostrar.
Exercícios relacionados
Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Calcular as derivadas parciais indicadas:
18) ?
18)
onde
é o montante inicial do elemento e
é a constante de proporcionalidade que satisfaz a equação (taxa de variação instantânea de
no momento
.
O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Se 16 g de Iodo-131 estão presentes inicialmente, determine:
(a) uma função que dê a quantidade de Iodo-131, , em gramas,
dias depois;
O iodo-131 é um isótopo radioativo muito utilizado para ajudar a detectar o bom funcionamento da tiroide. Suponha que o decaimento do iodo-131 segue o modelo dado acima e que a meia-vida (o tempo que leva para metade da substância se decompor) do iodo-131 é de aproximadamente 8 dias. Se 16 g de Iodo-131 estão presentes inicialmente, determine:
(a) uma função que dê a quantidade de Iodo-131,
Nos problemas abaixo, identifique (mas não resolva) a equação, como Homogênea, Bernoulli ou G(ax+by).