Um ônibus turístico, com 40 lugares, transporta turistas em um passeio com a seguinte tabela de preços: Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa em cada viagem é dado pela função: f(x)=(40-x)(20+x) = 800 + 20x - x², onde x indica o número de lugares vagos, 0 ≤ x ≤ 40. O faturamento máximo obtido em cada viagem e o número de lugares vagos para esse faturamento são, respectivamente: 675, 25875, 5875, 15800, 20900, 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um ônibus turístico com 40 lugares que está vendendo passagens. Se todos os lugares estiverem ocupados, cada passagem custa R$ 20,00. Mas, se sobrar algum lugar vazio, o preço de cada passagem aumenta R$ 1,00 para cada assento vago. A gente precisa descobrir qual é o faturamento máximo que a empresa pode ter em uma viagem e quantos lugares vão ficar vazios para alcançar esse valor. Para resolver isso, vamos trabalhar com funções matemáticas, especificamente uma função quadrática que representa o faturamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que representa o faturamento da empresa:
f(x) = (40 - x)(20 + x) = 800 + 20x - x^2
Aqui, $ x $ é o número de lugares vazios. A função é quadrática porque tem o termo $ x^2 $, e o coeficiente de $ x^2 $ é negativo, o que significa que o gráfico será uma parábola que abre para baixo. Isso indica que existe um ponto máximo para o faturamento.

Passo 3

Para encontrar o faturamento máximo, precisamos encontrar o vértice dessa parábola. O vértice de uma função quadrática na forma $ f(x) = ax^2 + bx + c $ ocorre no ponto:
f(x) = ax^2 + bx + c
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 20 $. Vamos calcular $ x $:

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
x = -202 times (-1) = -20-2 = 10
Então, o número de lugares vazios que maximiza o faturamento é 10.

Passo 5

Agora, vamos calcular o faturamento máximo substituindo $ x = 10 $ na função $ f(x) $:
x = 10
Portanto, o faturamento máximo é de R$ 900,00.

Resposta

O faturamento máximo obtido em cada viagem é de R$ 900,00 e ocorre com 10 lugares vagos.

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