OO 2^a questāo ( 20 pontos) Uma carga negativa Q é djstfibuida uniformemente ao jongo da quarta parte de uma circunferência de raio a, que está sobre o primeiro quardrante, com centro de curvatura na origem. Encontre os componentes x e y do caanpo elétrico na origem.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma carga negativa distribuída de forma uniforme ao longo de um quarto de circunferência com raio , situada no primeiro quadrante e com o centro dessa circunferência na origem. Nosso objetivo é encontrar os componentes e do campo elétrico na origem devido a essa distribuição de carga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb para calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Vamos precisar integrar as contribuições de cada pequena parte da carga ao longo da curva onde a carga está distribuída.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos uma circunferência de raio L = 14 times 2pi a = pi a2 centrada na origem (0,0) no plano cartesiano. Uma carga negativa lambda = QL = 2Qpi a está distribuída uniformemente ao longo de um quarto dessa circunferência, ou seja, do ângulo até radianos (equivalente a 90 graus) no primeiro quadrante.
Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga pode ser calculada dividindo a carga total pelo comprimento do arco onde a carga está distribuída. O comprimento de um quarto de circunferência é:
Então, a densidade linear de carga é:

Passo 3

Agora, para encontrar o campo elétrico na origem, vamos considerar um elemento infinitesimal de carga dE = k cdot |dQ|a^2 cdot r localizado em um ângulo na circunferência. A posição desse elemento em coordenadas cartesianas é .
A contribuição do campo elétrico desse elemento na origem é dada pela lei de Coulomb:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ),
  • é o vetor unitário na direção de para a origem.
Como a carga é negativa, a direção do campo elétrico será do ponto de carga em direção à origem.

Passo 4

Vamos decompor o campo elétrico dEx = dE costheta nos componentes dEy = dE sintheta e dEx = k cdot lambda cdot a cdot dthetaa^2 costheta = k lambdaa costheta , dtheta . A direção de dEy = k lambdaa sintheta , dtheta faz um ângulo com o eixo , então:
Substituindo :
Aqui, usamos que , pois é o comprimento de arco.

Passo 5

Agora, para encontrar os componentes totais Ex = integral0^pi2 k lambdaa costheta , dtheta e Ey = integral0^pi2 k lambdaa sintheta , dtheta , precisamos integrar e ao longo do intervalo de de a :

Passo 6

Vamos calcular cada uma das integrais:
Para Ex = k lambdaa integral0^pi2 costheta , dtheta = k lambdaa [ sintheta ]0^pi2 = k lambdaa (1 - 0) = k lambdaa :
Ey = k lambdaa integral0^pi2 sintheta , dtheta = k lambdaa [ -costheta ]0^pi2 = k lambdaa (0 - (-1)) = k lambdaa
Para :

Passo 7

Lembrando que calculamos Ex = k cdot 2Qpi aa = 2kQpi a^2 , substituímos na expressão dos campos:
Ey = 2kQpi a^2

Resposta

Os componentes do campo elétrico na origem são:
Ex = Ey = 2kQpi a^2

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