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questāo ( 20 pontos) Uma carga negativa
é djstfibuida uniformemente ao jongo da quarta parte de uma circunferência de raio
, que está sobre o primeiro quardrante, com centro de curvatura na origem. Encontre os componentes
e
do caanpo elétrico na origem.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma carga negativa
distribuída de forma uniforme ao longo de um quarto de circunferência com raio
, situada no primeiro quadrante e com o centro dessa circunferência na origem. Nosso objetivo é encontrar os componentes
e
do campo elétrico na origem devido a essa distribuição de carga.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Coulomb para calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição contínua de carga. Vamos precisar integrar as contribuições de cada pequena parte da carga ao longo da curva onde a carga está distribuída.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos uma circunferência de raio
centrada na origem (0,0) no plano cartesiano. Uma carga negativa
está distribuída uniformemente ao longo de um quarto dessa circunferência, ou seja, do ângulo
até
radianos (equivalente a 90 graus) no primeiro quadrante.
Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade linear de carga
pode ser calculada dividindo a carga total
pelo comprimento do arco onde a carga está distribuída. O comprimento de um quarto de circunferência é:
Então, a densidade linear de carga é:
Passo 3
Agora, para encontrar o campo elétrico na origem, vamos considerar um elemento infinitesimal de carga
localizado em um ângulo
na circunferência. A posição desse elemento em coordenadas cartesianas é
.
A contribuição do campo elétrico desse elemento na origem é dada pela lei de Coulomb:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é o vetor unitário na direção de para a origem.
Como a carga é negativa, a direção do campo elétrico será do ponto de carga em direção à origem.
Passo 4
Vamos decompor o campo elétrico
nos componentes
e
. A direção de
faz um ângulo
com o eixo
, então:
Substituindo
:
Aqui, usamos que
, pois
é o comprimento de arco.
Passo 5
Agora, para encontrar os componentes totais
e
, precisamos integrar
e
ao longo do intervalo de
de
a
:
Passo 6
Vamos calcular cada uma das integrais:
Para
:
Para
:
Passo 7
Lembrando que calculamos
, substituímos na expressão dos campos:
Resposta
Os componentes do campo elétrico na origem são:
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