O operador da energia de interação spin-órbita pode ser escrito como:
Esta interação causa desdobramentos nos níveis de energia. Calcule o valor esperado desta energia de interação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um operador que representa a energia de interação spin-órbita, dado por:
Aqui, S é o operador de spin, L é o operador de momento angular orbital, r é a distância do elétron ao núcleo, V® é o potencial, m é a massa do elétron e c é a velocidade da luz. A questão quer que a gente calcule o valor esperado dessa energia de interação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como operadores e valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor esperado de um operador. O valor esperado de um operador
em um estado
é dado por:
Isso basicamente nos dá uma média do valor medido de
no estado
.
Passo 3
Agora, vamos focar no operador
. Esse produto interno entre os operadores de spin e momento angular pode ser expresso em termos dos números quânticos. Sabemos que:
onde
é o operador de momento angular total, e
,
, e
são os operadores correspondentes aos quadrados desses momentos angulares.
Passo 4
Vamos substituir essa expressão no operador de energia de interação spin-órbita:
Simplificando:
Passo 5
O próximo passo é calcular o valor esperado dessa expressão. Assumindo que estamos trabalhando em um estado com números quânticos bem definidos
, onde:
-
é o número quântico principal -
é o número quântico do momento angular orbital -
é o número quântico do spin -
é o número quântico do momento angular total -
é a componente z de
Sabemos que:
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão de
:
Fatorando
:
Passo 7
Agora, precisamos de uma expressão para
. Em muitos casos, o potencial
é o potencial central, por exemplo, o potencial de Coulomb:
Então,
Portanto,
Passo 8
Substituindo isso na expressão do valor esperado:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O valor esperado da energia de interação spin-órbita é:
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e massa
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, onde
, sendo
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.
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