O operador da energia de interação spin-órbita pode ser escrito como: E^S L=12 m^2 c^2 1r d V(r)d r S L Esta interação causa desdobramentos nos níveis de energia. Calcule o valor esperado desta energia de interação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um operador que representa a energia de interação spin-órbita, dado por:
E^S cdot L = 12 m^2 c^2 1r d V(r)d r , S cdot L
Aqui, S é o operador de spin, L é o operador de momento angular orbital, r é a distância do elétron ao núcleo, é o potencial, m é a massa do elétron e c é a velocidade da luz. A questão quer que a gente calcule o valor esperado dessa energia de interação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como operadores e valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor esperado de um operador. O valor esperado de um operador lang<= O rang<= = lang<= psi | O | psi rang<= em um estado é dado por:
Isso basicamente nos dá uma média do valor medido de no estado .

Passo 3

Agora, vamos focar no operador S cdot L = 12 ( J^2 - L^2 - S^2 ) . Esse produto interno entre os operadores de spin e momento angular pode ser expresso em termos dos números quânticos. Sabemos que:
onde é o operador de momento angular total, e , , e são os operadores correspondentes aos quadrados desses momentos angulares.

Passo 4

Vamos substituir essa expressão no operador de energia de interação spin-órbita:
E^S cdot L = 12 m^2 c^2 1r d V(r)d r cdot 12 ( J^2 - L^2 - S^2 )
Simplificando:
E^S cdot L = 14 m^2 c^2 1r d V(r)d r ( J^2 - L^2 - S^2 )

Passo 5

O próximo passo é calcular o valor esperado dessa expressão. Assumindo que estamos trabalhando em um estado com números quânticos bem definidos lang<= J^2 rang<= = j(j+1) hbar^2 lang<= L^2 rang<= = l(l+1) hbar^2 lang<= S^2 rang<= = s(s+1) hbar^2 , onde:
  • é o número quântico principal
  • é o número quântico do momento angular orbital
  • é o número quântico do spin
  • é o número quântico do momento angular total
  • é a componente z de
Sabemos que:

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão de lang<= E^S cdot L rang<= = 14 m^2 c^2 1r d V(r)d r ( j(j+1) hbar^2 - l(l+1) hbar^2 - s(s+1) hbar^2 ) :
lang<= E^S cdot L rang<= = hbar^24 m^2 c^2 1r d V(r)d r ( j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) )
Fatorando :

Passo 7

Agora, precisamos de uma expressão para V(r) = -e^24 pi epsilon0 r . Em muitos casos, o potencial d V(r)d r = e^24 pi epsilon0 r^2 é o potencial central, por exemplo, o potencial de Coulomb:
1r d V(r)d r = e^24 pi epsilon0 r^3
Então,
Portanto,

Passo 8

Substituindo isso na expressão do valor esperado:
lang<= E^S cdot L rang<= = hbar^24 m^2 c^2 cdot e^24 pi epsilon0 r^3 ( j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) )
Simplificando os coeficientes:
lang<= E^S cdot L rang<= = hbar^2 e^216 pi epsilon0 m^2 c^2 r^3 ( j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) )

Resposta

O valor esperado da energia de interação spin-órbita é:
lang<= E^S cdot L rang<= = hbar^2 e^216 pi epsilon0 m^2 c^2 r^3 ( j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) )

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