Um operário tem seu salário dado por um valor fixo mais uma parte variável que é diretamente proporcional ao número de horas extras trabalhadas. Sabe-se que em um mês em que são feitas 12 horas extras, o salário é de R$ 840,00, e que em um mês em que são feitas 20 horas extras, o salário é de . Obtenha a relação que dá o salário em função das horas extras. Se o operário receber um salário de , quantas horas-extras teve que fazer.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o salário de um operário que tem uma parte fixa e outra que depende das horas extras que ele trabalha. Isso envolve entender de proporcionalidade direta e equações lineares. Vamos precisar montar umas equações para descobrir qual é essa relação entre salário e horas extras.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que sabemos. O salário total ( ) do operário é composto por duas partes:
  1. Parte fixa ( ): é um valor que ele recebe todo mês, independentemente das horas extras.
  2. Parte variável: é proporcional ao número de horas extras ( ) que ele trabalha. Podemos representar essa parte como , onde é o valor que ele ganha por cada hora extra.
Então, a relação fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações dadas no problema para montar um sistema de equações. Sabemos que:
  • Quando horas extras, .
  • Quando horas extras, .
Substituindo esses valores na equação:
Para 12 horas extras:
Para 20 horas extras:

Passo 4

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Agora, resolvendo para :
Então, o valor de cada hora extra ( ) é R$ 20,00.

Passo 5

Agora que sabemos o valor de , vamos encontrar a parte fixa ( ) usando uma das equações. Vamos usar a primeira:
Então, a parte fixa ( ) é R$ 600,00.

Passo 6

Agora que temos e , podemos escrever a relação que dá o salário em função das horas extras ( ):

Passo 7

Por último, vamos usar essa relação para descobrir quantas horas extras o operário precisa trabalhar para receber um salário de R$ 1.200,00. Substituindo :

Resposta

A relação que dá o salário em função das horas extras é . Para receber um salário de R$ 1.200,00, o operário precisou fazer 30 horas extras.

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