Em um oscilador
e
. Ele está em ressonância com uma força externa,
, com uma amplitude igual a
. Calcule:
a) valor de
a) valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um oscilador com massa $ m = 0,6 , kg $, constante elástica $ k = 60 , N/m $ e coeficiente de amortecimento $ b = 1,4 , kg/s $. Além disso, ele está sendo forçado por uma força externa com amplitude de $ 0,2 , m $. A gente precisa calcular a frequência angular da força externa, $ \omega_E $, especialmente quando o sistema está em ressonância. Para isso, vamos precisar usar conceitos de oscilação forçada e ressonância em sistemas amortecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ressonância. Ressonância ocorre quando a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema, fazendo com que as oscilações atinjam a máxima amplitude possível.
Passo 3
A frequência natural não amortecida do sistema é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
No caso de um sistema amortecido, a frequência de ressonância é um pouco menor que a frequência natural. A fórmula para a frequência de ressonância $ \omega_r $ em sistemas com amortecimento é:
onde $ \beta = \frac{b}{2m} $.
Passo 5
Vamos calcular $ \beta $:
Passo 6
Agora, substituímos $ \omega_0 $ e $ \beta $ na fórmula da frequência de ressonância:
Passo 7
Entretanto, para simplificar, especialmente se o amortecimento for pequeno, podemos aproximar que a frequência de ressonância é aproximadamente igual à frequência natural. Nesse caso, podemos considerar $ \omega_E \approx 10 , rad/s $.
Resposta
A frequência angular da força externa está em ressonância quando $ \omega_E \approx 10 , rad/s $.